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General relativity

Informations pratiques


Discipline :

Physique

Niveau :

master 2

Semestre :

S3b

Crédits ECTS :

6

Volume Horaire :

24h Cours
10h TD

Responsable :

Pierre Salati

Université de Savoie, Laboratoire d’Annecy-le-Vieux de Physique Théorique

Intervenants :

Pierre Salati
Alexandre Arbey

Language of instruction

The course will be taught in french, but questions in english are welcomed.

Objectif

Ce cours est une introduction à la théorie de la relativité générale. Le principe d’équivalence y joue un rôle essentiel et permet d’élaborer une théorie géométrique de la gravitation. Les outils permettant de sonder de manière intrinsèque les propriétés d’un espace non-euclidien sont développés pas à pas. Ils sont ensuite utilisés pour formuler la relativité générale dont quelques applications importantes sont analysées en détail et confrontées à l’expérience.

Plan du cours

1. Le principe d’équivalence :
Expériences de Galilée, Bessel et Eötvös montrant l’équivalence entre masse inerte et masse pesante – Existence d’un référentiel en chute libre où la gravitation est localement éradiquée par les forces d’inertie – Similarité avec le principe de la géométrie non-euclidienne – Description géométrique de la chute d’un corps dans un champ gravitationnel faible, symboles de Christoffel et potentiels de gravitation – Dilatation du temps dans un champ de pesanteur et décalage gravitationnel des fréquences – Expérience de Pound et Rebka – Effet Sagnac et gyrolaser.

2. Introduction à la géométrie non-euclidienne :
Une paramécie vivant sur une surface à deux dimensions arpente son espace et aimerait savoir par exemple s’il est courbe. Ne pouvant concevoir une troisième dimension, elle doit développer des méthodes intrinsèques afin d’explorer la structure géométrique de son univers. Ce chapitre présente les outils mathématiques qu’elle doit utiliser. Systèmes de coordonnées – Tenseur métrique – Espace tangent – Calcul tensoriel – Notion de difféomorphisme – Connexion affine – Dérivée covariante et transport parallèle – Tenseur de Riemann-Christoffel et courbure de l’espace – Tenseur de Ricci.

3. Equation d’Einstein :
Principe de covariance générale – Définition du tenseur impulsion-énergie et conservation – Equations de la relativité générale.

4. Quelques tests de la relativité générale :
Métrique de Schwarzschild – Déviation d’un rayon lumineux par le soleil et mesure de Eddington – Optique gravitationnelle – Trou noir de Schwarzschild et son horizon – Dérive du périhélie de Mercure – Retard gravitationnel de l’écho radar – Structure des étoiles en relativité générale – Equation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff – Théorème de Birkhoff.

5. Introduction aux ondes gravitationnelles :
Linéarisation des équations de la relativité générale et théorie maxwellienne de la gravitation – Jauge des coordonnées harmoniques – Structure d’une onde plane gravitationnelle – Interféromètre Virgo – Pulsar 1913+16 et mise en évidence indirecte des ondes gravitationnelles.

6. Une approche plus formelle :
En fonction du temps disponible, nous aborderons l’analogie enre relativité génerale et théorie de jauge – Construction lagrangienne du tenseur impulsion-énergie et démonstration covariante de sa conservation – Action de Einstein-Hilbert.

Pré-requis

- Essentiellement Relativité restreinte qu'il faut posséder parfaitement
- Il n'est pas utile d'avoir étudié la géométrie différentielle puisque ces notions sont introduites dans le chapitre 2 de manière pédestre. Mais cela aide !
- Une teinture de théorie de Yang-Mills permet de comprendre le début du chapitre 6.
- Le formalisme de la théorie classique des champs avec le théorème de Noether.

Bibliographie

Gravitation et Cosmologie, S. Weinberg
General Relativity – An introduction for Physicists, M.P. Hobson, G.P. Efstathiou et A.N. Lasenby
Basic Relativity, R. Mould
Relativity – Special, General and Cosmological, W. Rindler
Gravitation, C.W. Misner, K.S. Thorne et J.A. Wheeler

Modalité de l'examen

Écrit

Mots Clefs

Principe d'équivalence, géométrie non-euclidienne, variété différentielle, tenseur métrique, connexions, géodésique, courbure, tenseur impulsion-énergie, déviation de la lumière par le soleil, optique gravitationnelle, précession du périhélie de Mercure, métrique de Schwarzschild, trou noir, coordonnées de Kruskal-Szekeres, ondes gravitationnelles.