Soutenance de Louis Vignoli

Le travail de cette thèse se situe dans le cadre de l’étude des modèles intégrables quantiques unidimensionnels sur réseau. Il est consacré au développement d’une nouvelle méthode de séparation de variables quantiques pour ces modèles. Cette approche vise à caractériser le spectre de la matrice de transfert—qui contient l’ensemble des quantités conservées responsables de l’intégrabilité de tels modèles—en construisant une base dite séparée de l’espace de Hilbert du système, permettant de réduire son problème spectral à N variables couplées, N grand voire infini, en N problèmes spectraux indépendants à une variable. Les fonctions d’ondes des états propres sont alors des produits de N fonctions d’onde à une variable. Une avancée récente a été la construction de telles bases à partir de la matrice de transfert elle-même, et la caractérisation du spectre via des équations de fusion découlant de la théorie des représentations de l’algèbre quantique de symétrie sous-jacente.

Nous avons obtenu cette construction pour des modèles intégrables super-symétriques gl(m|n). Pour le cas gl(1|2) avec certaines conditions aux bords quasi-périodiques, cela nous a permis de caractériser complètement le spectre en termes de solutions d’un système discret d’équations cubiques aux différences finies, ainsi que de façon équivalente par une équation fonctionnelle appelée courbe spectrale quantique.

Nous avons ensuite calculé des produits scalaires entre états séparés dans les modèles intégrables de plus haut rang, ce qui détermine la mesure associée aux bases séparées. Pour le modèle gl(3), cette mesure est pseudo-orthogonale et nous l’avons caractérisée complètement. Nous avons aussi proposé une famille de quantités conservées construisant une base et sa duale, toutes deux séparées et orthogonales l’une de l’autre, simplifiant ainsi les produits scalaires entre états séparées. Cela ouvre la voie au calcul des facteurs de forme et des fonctions de corrélation de ces systèmes.