Modèles intégrables

Introduction

Les modèles intégrables classiques et quantiques constituent une classe privilégiée de modèles, allant de la mécanique classique et de l'hydrodynamique à la mécanique statistique et la théorie des champs, qui peuvent être résolus exactement. Cela veut dire qu'il est possible de calculer exactement, sous une forme explicite, et en particulier dans le régime non-perturbatif dans lequel les constantes de couplage peuvent être grandes, les diverses observables d'intérêt pour la physique de ces modèles. Cela concerne par exemple la détermination complète des trajectoires en mécanique classique, ou l'énergie par site et les exposants critiques en mécanique statistique classique et quantique à température finie, jusqu'à des quantités plus sophistiquées et mesurables expérimentalement comme les matrices de diffusion, les facteurs de forme, les fonctions de corrélation et leur facteurs de structure dynamiques associés. Cette situation offre un contraste saisissant avec le cas de modèles généraux non intégrables pour lesquels ont peut en général espérer accéder à ces observables uniquement dans un régime en perturbation obtenu par un développement en série dans les puissances des constantes de couplage supposées petites, et cela uniquement pour quelques ordres présents dans une telle série.

Le domaine des modèles intégrables a vécu plusieurs percées importantes au cours des quarante dernières années, la plus notable étant  l'émergence de nouvelles structures algébriques, reliées à la notion de matrice R classique et quantique et à leurs algèbres de Yang-Baxter associées, qui sont à la base des propriétés d'intégrabilité aussi bien en théorie des champs qu'en mécanique statistique en dimension deux. Cela a permis l'introduction de techniques algébriques puissantes permettant de construire et de résoudre de plus larges classes de modèles. Ces avancées ont aussi donné accès à des expressions explicites pour les fonctions de corrélation de plusieurs modèles quantiques phares, comme la chaîne de spin de Heisenberg XXZ, les systèmes de bosons en interaction delta à une dimension ou le modèle bi-dimensionnel à six vertex pour en citer quelques uns.

En particulier notre groupe à Lyon a développé une nouvelle méthode, basée sur la résolution effective du problème inverse quantique dans le cadre des algèbres de Yang-Baxter et de la méthode de l'Ansatz de Bethe algébrique associée, permettant le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation de modèles intégrables quantique sur réseau. Cela a permis d'étudier, à partir de calculs basés sur les premiers principes, et donc sans aucun argument ad hoc ou approximation, plusieurs régimes d'intérêt pour la physique de  ces modèles, et en particulier dans le régime de constantes de couplage où ces modèles admettent un comportement critique. Dans de telles situations la question centrale était de pouvoir accéder directement au comportement critique universel des fonctions de corrélation qui était prédit par diverses méthodes heuristiques. Pour ce faire, notre groupe à Lyon a développé une nouvelle méthode analytique qui nous a permis d'obtenir le régime critique universel des fonctions de corrélation de ces modèles et d'accéder ainsi directement aux exposants critiques tout comme aux amplitudes non-universelles correspondantes pour ces modèles. Nous avons pu réaliser cela non seulement pour le cas statique mais aussi pour le cas des fonctions de corrélation dépendant du temps qui était beaucoup moins compris, même du point de vue heuristique. Nos travaux récents ont en particulier permis de tester la validité et le domaine d'application de l'approche du liquide de Luttinger non-linéaire dont l'objectif est de prédire le comportement critique universel des fonctions de corrélation des modèles en une dimension sans gap. Notre approche exacte de ces problèmes a en particulier permis de révéler plusieurs aspects des comportements universel des fonctions de corrélation qui n'avaient pas été compris dans ces approches heuristiques. Enfin, les formules exactes obtenues pour les facteurs de forme de ces modèles (par exemple la chaîne XXZ) ont aussi permis de développer une approche numérique extrêmement précise, car basée sur des expressions exactes, pour les facteurs de structure dynamiques qui peuvent être directement mesurés expérimentalement et ce très au-delà de ce qui pouvait être obtenu par d'autres méthodes (diagonalisation exacte, DMRG,...).

Une autre activité très importante de notre groupe de Lyon concerne les modèles sigma non-linéaires en dimension 1+1. Les modèles sigma non-linéaires sont d'un grand intérêt à la fois en matière condensée et pour la théorie des cordes en physique des hautes énergies. Un des cas les plus étudiés pour la théorie des cordes est le modèle décrivant l'évolution d'une super-corde sur AdS5 x S5. Cette théorie joue un  rôle central dans la correspondance AdS/CFT; sa structure intégrable classique a été étudiée en grand détail dans notre groupe. Nous avons également développé une méthode systématique pour obtenir des déformations intégrables de ces modèles. Cela nous a permis de construire de nouveaux modèles sigma non-linéaires intégrables et d'étudier des familles de tels modèles déformés pour élucider plus avant leurs propriétés d'intégrabilité et aussi de renormalisation.   
 

Travaux récents et en cours

Facteurs de forme et fonctions de corrélation des chaînes de spins intégrables

En s'appuyant et développant les techniques et résultats antérieurs, les facteurs de forme et les fonctions de corrélation, y compris dépendantes du temps, des chaînes de spins de Heisenberg ont continué à être étudiées en grand détails et tout particulièrement dans les régimes à température finie, aussi bien pour le cas massif que de masse nulle. Cela à conduit à une analyse détaillée des facteurs de structure dynamique de la chaîne XXZ de spin 1/2 dans le régime critique et une formule exacte explicite de la conductivité de spin dans le cas massif. Dans le cadre de la méthode de la matrice de transfert quantique, un nouveau développement des fonctions de corrélation de la chaîne XXZ de spin 1/2 en termes de facteurs de forme thermaux a été développé, permettant l'obtention des fonctions de corrélation dynamiques et en température, y compris dans le cas de conditions aux bords ouvertes et avec une étude spécifique précise de la limite XX.  

Universalité dans les modèles intégrables

Les recherches récentes de K.K. Kozlowski se sont orientées vers l'obtention d'une meilleure compréhension de l'émergence d'un comportement critique universel pour les fonctions de corrélation des modèles intégrables quantiques. Un progrès substantiel a été obtenu pour le comportement asymptotique des fonctions de corrélation dynamiques de la chaîne de Heisenberg XXZ de spins 1/2 aussi bien à température nulle que dans le régime des basses températures. De plus, pour plusieurs modèles intégrables reliés au modèle à six-vertex (la percolation de Fortuin-Kasteleyn, le modèle de Potts) il a été établi de manière mathématiquement rigoureuse que les fonctions de corrélation sont invariantes par rotation dans le régime critique dans lequel un comportement universel est attendu.
 

Séparation des variables quantiques

J.M. Maillet and G. Niccoli ont consacré leurs activités récentes au développement d'une nouvelle méthode permettant la construction systématique de bases de variables séparées pour des modèles intégrables quantiques sur réseau. Cette méthode utilise la racine des propriétés d'intégralité de ces modèles, c'est à dire un ensemble complet de charges conservées commutantes et les constantes de structure de leur algèbres associative (et commutative) générée via leurs produits en tant qu'opérateurs quantiques. N'étant pas un Ansatz, cette méthode nouvelle permet de d'obtenir le spectre complet de ces modèles ainsi que les produits scalaires des états séparés et a donc le potentiel de pouvoir calculer leurs dynamique (facteurs de forme et fonctions de corrélation).

Concernant les spectre, les résultats principaux ont été obtenus pour des modèles intégrables sur réseau associés à des représentations des algèbres (et super-algèbres) de Yang-Baxter de rang supérieur comme gl(n) ou gl(m,n) ainsi que pour le modèle de Hubbard et cela avec des conditions aux bords très générales. Cela a conduit à la caractérisation complète de leurs spectres en terme d'équations aux différences finies, les courbes spectrales quantiques, pour des versions de plus haut rang de l'équation de Baxter dans lesquelles  l'opérateur Q de plus haut rang associé joue un rôle central, et ce pour plusieurs types de représentations de ces algèbres. Concernant la dynamique, les résultats obtenus concernent le calcul exact des produits scalaires des états propres (états de Bethe) et les fonctions de corrélations dans les cas de rang 1 comme les chaînes de spin 1/2 de Heisenberg XXX et XXZ avec des conditions aux bords intégrables les plus générales qui ne sont pas accessibles dans le cadre de l'Ansatz de Bethe algébrique. Pour les modèles de plus haut rang les premiers résultats concernent le calcul des produits scalaires des états séparés sous la forme d'un produit de déterminants de type rang 1 sous un choix adéquat de l'ensemble des charges conservées utilisées pour construire les bases séparées.

Modèles sigma non-linéaires intégrables
 

F. Delduc and M. Magro ont continué au cours de ces dernières années leurs investigation des modèles sigma non-linéaires intégrables en 1+1 dimension ainsi que de leurs déformations intégrables, avec en particulier l'étude de leurs propriétés de renormalisation et de dualités, qui sont de grand intérêt pour les théories des cordes correspondantes. Ces travaux ont permis d'envisager la question d'aller au delà de la correspondance AdS/CFT et en particulier de poser la question de l'existence d'une théorie duale de la déformation intégrable de la théorie des cordes sur AdS5 x S5 qu'ils ont construite. Au niveau quantique, une question importante et de dépasser les obstructions connues depuis plus de trente ans à la quantification de ces modèles dans le cadre des structures de Yang-Baxter standards. Une voie qui semble prometteuse est de se focaliser sur l'algèbre classique des charges conservées locales et de la relation avec les modèles de type Gaudin.

Choix de Publications

1. N. Kitanine, J.M. Maillet, V. Terras, "Form factors of the XXZ Heisenberg spin-1/2 finite chain", Nucl. Phys. B 554 (1999) 647-678.
2. N. Kitanine, J.M. Maillet, V. Terras, "Correlation functions of the XXZ Heisenberg spin-1/2 chain in a magnetic field", Nucl. Phys. B 567 (2000) 554-582.
3. N. Kitanine, J. M. Maillet, N. A. Slavnov, V. Terras, "Master equation for spin-spin correlation functions of the XXZ chain", Nucl.Phys. B712 (2005) 600-622.
4. J.S. Caux and J.M. Maillet, "Computation of dynamical correlation functions of Heisenberg chains in a field", Phys. Rev. Lett. 95 (2005) 077201.
5. N. Kitanine, K.K. Kozlowski,  J.M. Maillet, N.A. Slavnov and V. Terras, "Algebraic Bethe Ansatz approach to the asymptotic behavior of correlation functions", J. Stat. Mech.: Th. and Exp. P04003 (2009).
6. N. Kitanine, K.K. Kozlowski, J.M. Maillet, N.A. Slavnov, V. Terras, "Form factor approach to dynamical correlation functions in critical models", J. Stat. Mech.: Th. and Exp. P09001 (2012).
7. F. Delduc, M. Magro, B. Vicedo, "On classical q-deformations of integrable sigma-models", JHEP (2013) 192.
8. F. Delduc, M. Magro, B. Vicedo, "Integrable deformation of the AdS5 x S5 superstring action",  Phys. Rev. Lett. 112 (2014) 051601.
9. F. Delduc, M. Magro, B. Vicedo, "Derivation of the action and symmetries of the q-deformed AdS(5) x S (5) superstring", JHEP (2014) 132.
10. K.K. Kozlowski and J.M. Maillet, "Microscopic approach to a class of 1D quantum critical models", J. Phys. A: Math and Theor. Baxter anniversary special issue, 48 (2015) 484004.
11. F. Göhmann, M. Karbach, A. Klümper, K.K. Kozlowski and J. Suzuki, "Thermal form-factor approach to dynamical correlation functions of integrable lattice models.", J. Stat. Mech.: Th. and Exp. (2017) 113106.
12. S. Lacroix, M. Magro, B. Vicedo, "Local charges in involution and hierarchies in integrable sigma-models", JHEP (2017) 117.
13. J.M. Maillet and G. Niccoli, "On quantum separation of variables", J. Math. Phys. 59 (2018) 091417.
14. F. Delduc, S. Lacroix, M. Magro, B. Vicedo, "Integrable Coupled Sigma-Models", Phys. Rev. Lett. 122 (2019) 041601.
15. J.M. Maillet, G. Niccoli, L. Vignoli, "On Scalar Products in Higher Rank Quantum Separation of Variables", SciPost Phys. 9 (2020) 086.
16. H. Duminil-Copin, K.K. Kozlowski, D. Krachun,  I. Manolescu and M. Oulamara, "Rotational invariance of the planar random-cluster model.", math.pr:2012.11672.
17. K.K. Kozlowski, "On convergence of form factor expansions in the infinite volume quantum Sinh-Gordon model in 1+1 dimensions.", math-ph:200701740
18. C. Babenko, F. Göhmann, K.K. Kozlowski and J. Suzuki, "A thermal form factor series for the longitudinal two-point function of the Heisenberg-Ising chain in the antiferromagnetic massive regime.", J. Math. Phys. 62 (2021) 041901.
19. K.K. Kozlowski, "On singularities of dynamic response functions in the massless regime of the XXZ spin-1/2 chain", J. Math. Phys. 62 (2021) 063507.
20. G. Niccoli and V. Terras, "Correlation functions for open XXZ spin 1/2 quantum chains with unparallel boundary magnetic fields",  J. Phys. A: Math. Theor. 55 (2022) 405203.