L'astrolabe
III Le système de représentation.
II L'astrolabe planisphérique..
I Intérêt d’une carte respectant les angles sur une carte de la terre.
II Projection stéréographique plane équatoriale de pôle Sud.
III Projections de cercles particuliers dans la projection stéréographique.
I Projection des cercles verticaux passant par Zénith et Nadir
II Projection des demi-cercles horaires (demi-cercles passant par N et S)
III Projections des cercles de hauteur (sur l’hémisphère nord)
IV Tracé des maisons astrologiques
V Projections des cercles de hauteur (sur l’hémisphère sud)
I Tracé des cercles d’égale déclinaison (sur l’hémisphère nord)
II Projections de cercles particuliers
III Projections des étoiles principales
IV Graduation du pourtour de l’araignée.
V Graduations supplémentaires de l’araignée.
VI Tracé des cercles d’égale déclinaison (sur l’hémisphère sud)
V Utilisation de l’astrolabe..
II Relations dans un triangle sphérique.
VII De l’astrolabe à la carte du ciel..
VIII Tracé des heures de prières.
I Historique et principe de l’astrolabe universel
II Exemples d’utilisation à Lyon f = 46°N (exercices 2 à 8)
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Chapitre 1 |
Instrument de calcul inventé par Hipparque (astronome grec du 2ème siècle avant J.C.) permettant d’établir les relations entre la position des étoiles et le temps. Son développement par les Arabes fut lié aux nécessités du culte pour connaître les heures de lever et coucher du soleil, de son passage au méridien et à une hauteur donnée l’après midi (pour fixer les heures des prières).
Le plus ancien instrument date de l’an 315 de l’Hégire (927-928 ap. J.C.) et se trouve au Musée National du Koweit. Des exemplaires du 16ème et du 17ème siècle se trouvent au Musée des Arts et Métiers à Paris.
Il existe différents types d’astrolabes (sphérique, plan équatorial, plan universel) mais le plus courant est l’astrolabe plani-sphérique qui est une projection plane équatoriale de pôle sud de la sphère céleste.
Le problème de réaliser une carte c’est à dire de faire correspondre les points d’une sphère à ceux d’un plan date de l’Antiquité. Aucune solution respectant partout à la fois surfaces, angles (La sphère étant une surface non développable) ne peut être trouvée à ce problème.
La méthode la plus ancienne consiste à projeter l’image de la sphère terrestre ou céleste sur une feuille plane (projection planisphérique), roulée en cylindre (projection cylindrique) ou en cône (projection conique).
Il peut-être au centre (projection centrale), à l’infini (projection orthographique) ou être un des points de la sphère (projection stéréographique ou projection d’Hipparque qui vécut vers 150 avant J.C.).
Certaines projections respectent les surfaces (projections équivalentes), d’autres conservent les angles (projections conformes). De nombreuses représentations modernes utilisant l’ordinateur ne sont ni équivalentes, ni conformes.
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Chapitre 2 |
Gerhard Kremer né en Flandres 1512, mort à Duisbourg 1594
Il réalise une carte de Terre Sainte (1537), du monde (1538), des Flandres (1540), du globe (1540), de la sphère céleste (1551), carte de “Mercator” (1569), projection cylindrique déformée pour obtenir une représentation conforme.
Depuis l’introduction de la boussole dans la navigation on dirigeait les navires suivant une route, appelée loxodromie, coupant les méridiens à angle constant. Ainsi pour aller d’un point A à un point B, il suffit de déterminer le cap à prendre et de le suivre pendant tout le voyage à l’aide de la boussole.
Pour se rendre compte de la position du navire il faut pouvoir tracer simplement sur la carte le chemin parcouru: la carte la plus intéressante serait alors une carte dont la loxodromie serait représentée par le segment de droite AB.
Pour cela il faut que les angles soient conservés. Les angles sont conservés si un petit cercle de la sphère est transformé en un petit cercle du plan, c’est à dire si les dilatations de longueurs en un point sont les mêmes dans toutes les directions.
La représentation de Mercator part d’une projection cylindrique (dilatant donc les parallèles en 1/cosf, si la latitude est f) et l’on dilate ensuite les méridiens en 1/cosf pour que les dilatations des parallèles et des méridiens soient les mêmes. Les longueurs ne sont par conséquent plus respectées ni les surfaces.
La projection d’Hipparque (150 av J.C.) est décrite par Ptolémée (2ème siècle ap. J.C.)
Soit la sphère céleste, N le pôle céleste Nord, S le pôle céleste Sud.
À une étoile E, on fait correspondre l’étoile e, point d’intersection de ES avec le plan équatorial.
La projection du cercle équatorial sera lui-même, la projection e d’un astre E de l’hémisphère nord sera située à l’intérieur du cercle équatorial, la projection e’ d’un astre E’ de l’hémisphère Sud sera à l’extérieur.
1) conservation des angles donc de la forme des petites constellations
2) la projection d’un grand cercle de la sphère est un grand cercle du plan (P)
tous les cercles de coordonnées sont transformés en cercles sur la carte: elle est facile à tracer
*
Ce sont les cercles méridiens d’égale ascension droite: les images sont des droites passant par O
Les cercles parallèles ont pour image des cercles concentriques de centre O
Un point E se trouvant à l’intersection d’un cercle parallèle de déclinaison q et d’un 1/2 cercle méridien d’ascension droite a se trouvera en projection à l’intersection d’une demi-droite et d’un cercle.
Soit a le rayon de la sphère céleste: OE= a
OH=asinq HE=acosq Oe/HE= SO/SH d’où Oe=acosq * a/(a+asinq) = acosq/(1+sinq) = atg(p/4-q/2)
On peut aussi dire directement Oe= atg((p/2-q)/2) = atg(p/4-q/2) car l’angle inscrit en S dans le triangle HSE vaut la moitié de l’angle au centre en O dans le triangle HO
Soit le cercle (G) de centre H et E un point du cercle. Soit (g) la projection de (G) sur (P)
Soit la droite perpendiculaire au cercle (G) et tangente à la sphère. Elle coupe la droite OH en un point T, et TE se projettera en te sur le plan de projection. Pour un point E’, la projection de TE’ donnera te’.
Or la projection stéréographique conserve les angles, donc la projection d’une normale à (G) est une normale à (g). La projection (g) de (G) est donc une courbe dont toutes les normales passent par un point fixe t. Seul le cercle centré en t convient: (g) est donc ce cercle centré en t.
Pour construire ce cercle, on fait pivoter dans le plan de la feuille de tracé
* le plan SET * le plan (P) de projection Alors on obtient E projeté en e et E’ projeté en e’
Soit un cercle passant par O d’inclinaison e par rapport au plan (P)
Le centre t du cercle projeté se trouve en traçant la droite passant par S parallèles aux tangentes en E et E’
Donc Ot = atge r = St = a/cose
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Chapitre 3 |
Soit un lieu à la latitude f
Un vertical est un demi-cercle passant par zénith et nadir du lieu, repéré par son azimut A par rapport au méridien céleste Sud NS.
Les projections de Ze et Na étant z et n, la projection du vertical est donc un cercle passant par n et z.
De plus la projection du méridien Nord Sud est Os.
En Ze le vertical Ze-Na fait l’angle A avec le méridien N-S; en z projection de Ze les projections du vertical et du méridien feront aussi l’angle A, ce qui permet de trouver le centre w.
Oz=atg(p/4-f/2) et On=acotg(p/4-f/2) donc nz = atg(p/4-f/2) + a/tg(p/4-f/2)= 2a/cosf
tg A= Iz/wI donc wI = Iz / tgA=a/cosftgA et le rayon du cercle cherché vaut R(A)=wz= Iw/cosA=a/cosfsinA
On peut ainsi tracer tous les verticaux à partir de leur centre w en faisant varier l’azimuth A de 0° à 180°
Pour construire un astrolabe tenant sur un format A4, on prend a=5
Oz = atg(p/4-f/2) = 2,032 Iz = a/cosf = 7,071 Iw= 7,071/tgA R(A) = 7,071/sinA
Les graduations en azimut vont de 0° (Sud), 90° (Ouest), 180° (Nord), 270° (Ouest) à 360°
ce sont des demi-droites passant par O
On sait que l’angle horaire représente l’angle entre le demi-méridien céleste et le méridien sud avec un choix d’unité d’angle appelé l’heure valant 15°. L’angle horaire du méridien Sud est H=Oh, celui de l’Ouest 18h, celui du Nord 12h, celui de l’Est 6h.
Le pourtour du tympan sera gradué en H +12heures (Temps solaire moyen)
Le choix de H +12 heures est fait pour que lorsqu’un astre passe au méridien la valeur lue soit 12h et non 0h.
Le sens de graduation est - positif si l’observateur est au dessous de (P)
- rétrograde si l’observateur est au dessus de (P)
Soit E E’ un cercle de hauteur h
Soient e et e’ leurs projections et t le centre du cercle projeté
Oe’= atg((f-h)/2) Oe= atg((p-f-h)/2)=acotg((f+h)/2)
Ot(h)= Oe - ee’/2 =(Oe-Oe’)/2 =a(tg(p-f-h)/2 - tg(f-h)/2)/2 = acosf/(sinh +sinf)
R(h)= (Oe+Oe’)/2=a(tg(p-f-h)/2 + tg(f-h)/2)/2 = acosh/(sinh +sinf) = a/2[ cotg((f+h)/2)+tg((f-h)/2)]
Position du centre du cercle horizon: Ot(h=0)= acotgf
Rayon du cercle horizon: R(h=0)= a/sinf
Chaque maison est limitée par un cercle passant par les points Nord et Sud de l’horizon, faisant l’angle K= -90° (I-XII), -60° (XII-XI), -30° (XI-X), 0°(X-IX) avec le cercle méridien
Les projections sont donc des cercles passant par n et s, et dont les tangentes au méridien en n et s font les angles K=-90°, -60°, -30°, 0°
Le rayon du cercle horizon étant a/sinf, les rayons seront a/(sinf*sinK)
Les distances du centre au méridien seront a/tgK*sinf
Soit E E’ un cercle de hauteur h
Soient e et e’ leurs projections et t le centre du cercle projeté
Oe’= atg((p-(h-f))/2)=acotg((h-f)/2) Oe=atg((h+f)/2)
Ot(h)= Oe + ee’/2 =(Oe’+Oe)/2 =a{tg{(p-(h-f))/2} + tg{(h+f)/2}}/2 = acosf/(sinh -sinf)
R(h)= (Oe’-Oe)/2= a{tg{(p-(h-f))/2} - tg{(h+f)/2}}/2 = acosh/(sinh -sinf)
Position du centre du cercle horizon: Ot(h=0)= -acotgf
Rayon du cercle horizon: R(h=0)= a/sinf
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Chapitre 4 |
Nous avons vu: r=atg(p/4-q/2) et avec a = 5
* L’équateur se projette en lui-même
* Les tropiques sont tracés en utilisant les formules de I.5. avec
F q = +e= +23°27’ (Tropique du Cancer)
F q = -e = -23°27’ (Tropique du Capricorne)
* L’écliptique se projette en un cercle tangent aux deux tropiques.
Son rayon est r = a/cose et Ot = atge (avec a=5, r=5,450 et Ot = 2,168)
On peut fabriquer un index appelé alidade gradué en déclinaison q de +90° à par exemple -30°. À l’aide des graduations en déclinaison q et des graduations en ascension droite a on porte sur l’araignée les étoiles souhaitées.
L’intersection avec l’équateur céleste donne les points g et g’. On appelle g celui qui sera pris pour origine des ascensions droites et on gradue en ascension droite a de 0 à 24H dans le sens
F - rétrograde si l’observateur est à l’intérieur de la voûte céleste
F - positif si l’observateur est à l’extérieur de la voûte céleste
Le soleil parcourt à vitesse non constante l’écliptique en 365,2422... jours (soit a0 son ascension droite). On peut donc diviser le pourtour de l’araignée en 364,2422 parties inégales et graduer chaque jour de l’année en face de l’ascension droite du soleil à 0h00 T.U. ce jour. D’une année sur l’autre ces graduations se déplacent un peu (car l’équinoxe a lieu entre le 20 et le 21 mars, c’est à dire que le 21 mars à 0h00 T.U. le soleil vrai n’est pas chaque année à l’ascension droite 0h00). Le 1er janvier à 0h00 T.U. l’ascension droite du soleil est en moyenne18h43. On peut corriger le faible écart pour une année donnée avec des tables (voir carte Sirius). On doit également faire une correction de fraction de jour correspondant à l’heure d’observation. (Nous ne ferons pas ces corrections)
Le temps solaire moyen correspond au temps solaire vrai "corrigé de ses irrégularités " (angle variant linéairement en fonction du temps de la mécanique). C’est une entité échappant à l’observation directe et dont la définition suppose la connaissance préalable des mouvements de rotation et de translation de la Terre. Les valeurs du terme correctif E, terme appelé équation du temps, se lisent pour chaque jour de l’année dans des éphémérides ou sur une courbe.
On calcule E=-3mn le 1er janvier. On divise le pourtour de l’araignée en 364,2422 parties égales correspondant au temps solaire moyen et on fait coïncider la graduation du 1er janvier avec l’ascension droite 18h40.
diviser l’écliptique en 360° représentant la longitude géocentrique du soleil
D’après la formule : r=atg(p/4 + q/2) et avec a = 5
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Chapitre 5 |
F civil (h=-6° sous l’horizon): par temps clair les planètes et les étoiles de première grandeur sont visibles
F nautique (h=-12° sous l’horizon): les étoiles de deuxième grandeur sont visibles, horizon encore discernable
F astronomique (h=-18° sous l’horizon): les étoiles de sixième grandeur sont visibles, il fait nuit
Le calcul de l’angle horaire donnerait cosH=(sinh-sinfsind)/cosfcosd
où h hauteur, f latitude, d déclinaison
Pour f=45°, Équinoxes: d=0° (32mn, 1h06, 1h39), 21 juin: d=23° (39mn, 1h28, 2h34), 21déc d=-23° (35mn, 1h02, 1h49)
Le jour du plus petit crépuscule, la déclinaison d du soleil est donnée par par sind=sinftgh/2, h hauteur choisie sous l’horizon; on en déduit le jour puis la durée de ce crépuscule.
Problème résolu pour la première fois par Nunez (1492-1517), géomètre portugais
F à laquelle votre ombre est égale à votre hauteur le ...
F à laquelle votre ombre est égale à votre hauteur plus la longueur de votre ombre à midi le ...
F à laquelle Antarès culmine le …
F à laquelle se lève la lune qui se trouve à l’ascension droite ....
La projection conservant les angles, on peut mesurer au rapporteur l’angle écliptique-horizon au coucher du soleil
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Chapitre 6 |
Hipparque (vers 150 av J.C.): parait le premier inventeur de la trigonométrie sphérique (“art de trouver les parties inconnues d’un triangle tracé sur une sphère par le moyen de celles que l’on connait”)
Ménélaüs (vers 80 av J.C.): Une traduction latine des ”Sphériques” nous est parvenue mais le traité “Sur les cordes” est seulement évoquée par d’autres auteurs
Ptolémée (vers 150 ap.J.C.): laisse dans l’Almageste un traité complet de trigonométrie rectiligne et sphérique, le seul qui nous soit parvenu directement des Grecs.
Albategni (877-929): substitue la notion de sinus à celle de corde et fait connaître la formule fondamentale de trigonométrie sphérique: sina/sinA = sinb/sinB = sinc/sinC
C'est un triangle formé d’arcs de grands cercles de la sphère
Triangle sphérique: dans le triangle ABC tracé sur la sphère de rayon 1, les cotés a, b, c, sont inférieurs à p
cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA * sina*sinB = sinb*sinA * sina*cosB = cosb*sinc - sinb*cosc*cosA
hauteur h azimut A (Sud A=0°, Ouest A=90°, Nord A=180°, Est A=270°)
d déclinaison et a ascension droite
H angle horaire (repérage par rapport au méridien sud)
demi-plan vertical zénith: Sud H= 0h, puis + vers l’Ouest H=6h, 12h (Nord),18h (Est)
A azimut
On place le zénith en B, le pôle en A, une étoile en C et les relations de Gauss deviennent
cos(p/2-h) = cos(p/2-d)cos(p/2-f) + sin(p/2-d)*sin(p/2-f)*cosH
sin(p/2-h)*sin(p-A) = sin(p/2-d)*sinH
sin(p/2-h)*cos(p-A) = cos(p/2-d)*sin(p/2-f)- sin(p/2-d)*cos(p/2-f)*cosH
sinh = sinf*sind + cosf*cosd*cosH
cosh*sinA = cosd*sinH
cosh*cosA = - cosf*sind + sinf*cosd*cosH
On place le pôle de l’écliptique en A, le pôle céleste Nord en B, une étoile en C
cos(p/2-d) = cose*cos(p/2-b) + sin(e)*sin(p/2-b)*cos(p/2-l)
sin(p/2-d)*sin(p/2+a) = sin(p/2-l)*sinH
sin(p/2-d)*cos(p/2+a) = cos(p/2-b)*sine- sin(p/2-b)*cose*cos(p/2-l)
sind = cose * sinb + sine * cosb * sinl
cosd * cosa = cosb * cosl
cosd * sina = - sinb * sine + cosb * cose * sinl
cos(p/2-b) = cose*cos(p/2-d) + sine*sin(p/2-d)*cos(p/2+a)
sinb = cose*sind - sine*cosd*sina
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Chapitre 7 |
Sur l’araignée de l’astrolabe les cercles d’égale déclinaison sont donnés par la formule I.5.: r=atg(p/4-q/2). Les cercles s’élargissent considérablement à la périphérie et les constellations de l’horizon nord sont très petites par rapport à celles de l’horizon Sud. Pour remédier à cette disproportion on choisit, pour des écarts égaux en déclinaison, de faire des cercles équidistants.
Les relations entre coordonnées horizontales et équatoriales deviennent pour l’intersection de l’horizon (hauteur h=0) avec la courbe de déclinaison d, à la latitude f=45°
cosH = - tgftgd= - tgd
sinA = sinHcosd et cosA = -sind/cosf= -1,414sind
On inverse les formules et pour A donné
on trouve d = Arcsin(-cosA*cosf) = Arcsin(-0,707cosA) et H= Arcsin(sinA/cosd) ou cosH = - tgftgd = - tgd
Pour l’azimuth A= 90°, on trouve d puis H, et on fait de même pour A= 270°
Pour A=90° on trouve H= arcos (tgd/tgf)
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Chapitre 8 |
1 - cosH = (sinhmidi - sinh)/(cosfcosd)
H = 1 - (sinhmidi-sinh)/(cosfcosd)
cotan(h )= cotan(hmidi) + 1
h = ATAN (tanhmidi/(1 + tanhmidi))
cotan(h)=cotan(hmidi) +0,25
h=ATAN(tanhmidi/(1 + 0,25*tanhmidi))
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Chapitre 9 |
Instrument de calcul inventé par Hipparque (astronome grec du 2ème siècle avant J.C.) permettant d’établir les relations entre la position des étoiles et le temps. Son développement par les Arabes fut lié aux nécessités du culte pour connaître les heures de lever et coucher du soleil, de son passage au méridien et à une hauteur donnée l’après midi (pour fixer les heures des prières). Le plus ancien instrument date de l’an 315 de l’Hégire (927-928 ap. J.C.) et se trouve au Musée National du Koweit. L’astrolabe le plus connu est celui qui utilise une projection plane équatoriale de pôle sud de la sphère céleste mais qui nécessite un tympan pour chaque latitude (projection des coordonnés locales de l’observateur)... Voir C.C. n° 47 et 48
‘Ali b. Khalaf (Tolède vers l’an 1000)
“... il est bien connu que l’astrolabe conventionnel a besoin d’un tympan pour chaque latitude. Je me suis demandé comment faire un instrument qui serait valable pour toutes les latitudes afin de supprimer le travail ingrat de graver les tympans. En y réfléchissant, il s’est trouvé que j’ai compris comment pouvoir faire un instrument qui n’aurait pas plus d’un tympan et d’une araignée. Je lui ai donné le nom d’horizon universel, je l’ai dédicacé à mon seigneur le roi de Tolède Ma’mun et j’ai fait ce livre ...”
al-Zarqalluh (Tolède 1029 - Cordoue 1100)
al-Zarqalluh, appelé Azarchiel en Occident médiéval latin, ramène le tympan à une simple règle muni d’un curseur glissant à angle droit
Il s’agit d’une projection stéréographique de pôle g ou g’ sur le colure des solstices.
La projection stéréographique étant conforme (conserve les angles), les projections des cercles horaires et des parallèles célestes seront des cercles (Voir l’annexe TRACÉ DE L’ASTROLABE).
Les étoiles d’ascension droite 0h à 6h et 18h à 24h sont projetées avec le pôle g, les étoiles d’ascension droite 6h à 18h avec le pôle g ’ .
Un horizon d’une latitude quelconque f est projeté en une droite inclinée de f sur l’équateur céleste; les cercles de hauteur et les cercles d’azimut auront même type de projection que les cercles de déclinaison et d’angle horaire (Voir l’annexe SYSTÈME DES COORDONNÉES de L’ASTROLABE).
La régula est graduée en coordonnées écliptiques avec des intervalles de 1° et des séparations tous les 30° correspondant aux signes du Zodiaque. Lorsque l'on place la régula le long de l’écliptique, on vérifie que chaque signe correspond à deux heures en ascension droite.
Astrolabe ci-joint
L’astrolabe tracé ci-joint est inspiré de l’astrolabe d’Arsénius (vers 1550): il comprend une réglette muni d’une deuxième réglette de longueur moitié de la précédente sur laquelle est articulée un bras prolongé d’une autre pièce (les deux pièces articulées forment “le brachiolus”). L’ensemble permet par simple rotation de passer des coordonnées équatoriales aux coordonnées écliptiques ou aux coordonnées horizontales (Voir l’Annexe MAQUETTE DE L’ASTROLABE)
Exemple pour Capella: a=4h46 d=-45°07’ Aligner la régula avec l’écliptique, pointer Capella avec le brachiolus, faire tourner l’ensemble pour aligner régula avec l’équateur EE’: lire l=80° b=23°
Aligner la régula avec l’équateur EE’ et pointer les coordonnées écliptiques données; on fait tourner la régula pour l’aligner sur l’écliptique et on lit les coordonnées du point trouvé qui sont les coordonnées équatoriales cherchées.
Ce sont les étoiles qui lors de leur mouvement diurne ne rencontrent pas l’horizon de Lyon: on trouve qu’elles doivent avoir une déclinaison supérieure à 46°
On place la régula sur l’horizon de Lyon; on suit la trajectoire d’Arcturus sur la courbe de déclinaison d=19° jusqu’au méridien, on pointe le brachiolus sur le point trouvé dont on trouve la hauteur en amenant la régula sur EE’: h=66°
Durée de la trajectoire de Véga au dessus de l’horizon
On lit en quel point Véga intercepte l’horizon de Lyon: H=9 h30, Azimuth= 145° Est;durée= 19h
Par exemple le 21mai
On lit dsoleil = 20°, on trouve Tlever = 12+7h20 = 19h20, Azimutcoucher = 117°
Trouver l’heure et la date connaissant la hauteur et l’azimut du soleil
Par exemple à Lyon on mesure pour le soleil h=42°, AzOuest=58°
On indique le point (h=42°, Az=58°), la régula étant alignée sur EE’; on la fait tourner pour la mettre sur l’horizon de Lyon, on trouve que le soleil doit avoir une déclinaison dsoleil = 10°; en alignant la régula sur l’écliptique on trouve deux longitudes écliptiques: le 15 avril ou le 30 août. L’observation a eu lieu à 2h40 avant ou après midi
Par exemple le 21 février à 15h
On lit d= -12° ; on pointe avec le brachiolus puis on fait pivoter la régula sur EE’: on lit h= 20°, Az= 48°
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Chapitre 9 |
F Cahiers Clairaut n ° 47 et n ° 48
F Traité de l’astrolabe Edition Alain Brieux (épuisé) Henri Michel
F Cadrans solaires et astrolabes I.R.E.M. de Limoges, 123 Av Albert Thomas 87 000 Limoges
F Astronomie, méthodes et calculs Masson A. Acker et C. Jaschek
F Astronomie générale Éditions A. Blanchard André Danjon
F Les cadrans solaires Éditions Oberlin René R. J. Rohr
F L’astrolabe Association Française de Topographie Raymond d’Hollander
F http://astrolabes.org/astrolab.htm de nombeux liens avec d’autres sites