Tracé du cadran, solaire plan

I) Tracé d'un cadran solaire vertical déclinant

Le calcul des arcs des signes et des lignes horaires peut être effectué aisément par ordinateur, un seul formulaire étant utilisé pour tous les types de cadrans plans horizontaux ou verticaux déclinants.

Figure 1: Vue dans le plan méridien

Figure 2: Vue en perspective

1) Notations et définitions:

P plan du cadran, D sa "déclinaison" (angle de la normale au plan du cadran et de la direction Nord-Sud).

s: longueur du style CK: C pied du style polaire, O pied du style droit, K œilleton du style

M' ombre de K au soleil

l: la latitude du lieu                   Eq : image du soleil à midi vrai le jour des équinoxes

Les axes dans le plan du cadran sont OI et OJ (repère direct)

2) Équations paramétriques des arcs des signes (d=constante)

La variable est l'angle horaire H, pour une déclinaison donnée d du Soleil, les coordonnées (u,v) de l'image M' du Soleil sur le cadran s'expriment par:

La distance de l'œilleton au plan du cadran est a=scoslcosD et EP=s/sinD

3) Équations cartésiennes des lignes horaires (H=constante)

pour un angle horaire donné H, on obtient :

(sinHcosl)v +  (sinlsinDsinH + cosDcosH)u - s*sinH/sinlcosD = 0

Chaque arc des signes est parcouru deux fois au cours de l'année sauf aux solstices; pour d=0° l'arc des signes est un segment de droite; on trace les autres arcs des signes pour d=23°27', d=20°20', d=11°29'

On trace les arcs des signes en faisant varier H (de 5 en 5 minutes par exemple) de – H0 à +H0 correspondant au lever et au coucher du Soleil et calculé par la formule cosH0=-tgl tgd

Les lignes horaires peuvent être tracées pour chaque quart d'heure.

Pour un cadran horizontal on remplace l par 90° + l et D par 0°

II) Tracé d'un cadran solaire incliné quelconque

·         l latitude du lieu

·         Z: inclinaison du cadran: angle du plan horizontal avec le plan du cadran AB leur droite d'intersection

Z varie de 0° à 180°: Z=0° pour un cadran horizontal

·         D déclinaison du cadran: angle du méridien  avec la normale à l'intersection AB

D varie de 0° à 360°: D= 0° méridional, D=90° occidental, D=180° septentrional, D=270° oriental

·         d déclinaison du soleil, H angle horaire du soleil

1) M:  Angle tabulaire de la ligne des 12h par rapport à la ligne de plus grande pente

tanM=tanDcosZ

2) B:  Angle tabulaire de la sous-stylaire avec la ligne 12h

sous-stylaire=projection orthogonale du style sur le cadran

3) f:  Valeur absolue de l'inclinaison du style polaire avec sa sous-stylaire

f est toujours <90° en valeur absolue. la formule est valable pour les deux hémisphères

4) S: Angle horaire du soleil lorsque son ombre passe par la sous-stylaire

L'ombre du style recouvre la sous-stylaire: le soleil est dans le plan perpendiculaire au cadran

sinS du même signe que sinD sinon on prend S=S±180°

exprimé en heure Sh=12h+(S/15)

5) S' : Angle tabulaire de la sous-stylaire avec la ligne de plus grande pente

La sous-stylaire passe par le pied du style droit et par le pied du style polaire

XC et YC coordonnées du point C pied du style polaire avec pour origine le pied du style droit

XC >0 YC >0 on prend S'=S'                            XC <0 YC >0 on prend S'=S'

XC <0 YC <0 on prend S'=S'+180°

XC >0 YC <0 on prend S'=S'-180°

6) H' Angle tabulaire des lignes horaires par rapport à la ligne de plus grande pente

H'compté positivement dans le sens trigonométrique

F Définition du style droit de longueur a

F Calcul de la fonction intermédiaire p en fonction de l , D, Z, d

F XC et YC coordonnées du point C pied du style polaire

F u longueur du style polaire de C à K

7) Calcul des coordonnées cartésiennes (x,y) du point ombre de l'œilleton

L'origine O est le pied du style droit, x est dirigé vers la droite, y vers le haut suivant la ligne de + GP