Le billard est un système dynamique décrivant le mouvement d’une particule sans masse ni volume qui se déplace sans frottements à l’intérieur d’un domaine délimité par une paroi réfléchissante. Elle est réfléchie sur la paroi selon la loi angle d’incidence = angle de réflexion. Lorsque le déplacement se répète on parle d’orbite périodique. Cette thèse s’intéresse à deux généralisations de ces billards : les billards projectifs et les billards complexes. Les billards projectifs, introduits et étudiés par Tabachnikov, se présentent comme des domaines dont le bord est muni d’un champ de droites transverses. Les billards complexes, introduits et étudiés par Glutsyuk, sont une généralisation naturelle du billard classique au plan Euclidien complexifié.
La thèse étudie ces billards et souligne qu’ils fournissent des résultats sur les billards classiques. Elle explore l’analogue de la conjecture de Ivrii pour les billards projectifs, classifiant ceux qui possèdent des ouverts d’orbites triangulaires, dont la preuve utilise notamment les systèmes Pfaffiens. De nombreux contre-exemples à la conjecture de Ivrii sont aussi donnés pour plus de trois réflexions dans la classe des billards projectifs. Elle analyse l’existence de caustiques : une conique complexifiée admet un faisceau de coniques complexes pour caustiques, et les caustiques complexes des orbites périodiques sont plus nombreuses que dans le cas réel; une quadrique d’un faisceau de quadriques admet une structure de billard projectif dont les quadriques du faisceau sont des caustiques ; et il est montré qu’un argument avancé par Berger se généralise à l’étude des caustiques de billards projectifs en dimension au moins 3.
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