Agenda de l'ENS de Lyon

Ce mémoire est une synthèse des résultats mathématiques que j'ai obtenus avec mes coauteurs depuis la soutenance de ma thèse de doctorat il y a dix ans.

J'y présente une méthode de calcul de certaines observables du modèle d'Ising planaire et du tas de sable abélien planaire; introduis de nouveaux modèles aléatoires : la famille des arbres couvrants actifs, certaines familles de sous-graphes aléatoires déterminantaux, les forêts couvrantes quantiques, ainsi que les soupes de boucles tordues par l'holonomie d'une connexion et leurs théorèmes d'isomorphismes avec des champs de vecteurs gaussiens; et définis ce faisant, par un chemin probabiliste, une généralisation des polynômes de Symanzik. Tous ces modèles sont liés par une structure commune de géométrie combinatoire, dont le polynôme de Tutte multivarié est la clef de voûte.

Un aspect fascinant de ces géométries combinatoires et aléatoires est la façon dont les familles de modèles discrets possèdent des analogues continus ayant une structure en famille similaire. Je propose une conjecture supplémentaire dans ce sens (la convergence des arbres couvrants actifs vers l'évolution de Schramm--Loewner), ainsi qu'un théorème qui énonce une variante de cette convergence dans le cas où le graphe sous-jacent est une carte aléatoire.

En étudiant ces modèles de physique statistique discrets, je m'attache en filigrane dans ce texte à mettre en exergue des exemples de liens entre structure et aléa, avec comme motivation la construction hypothétique à long terme d’objets géométriques continus (lignes, surfaces, champs) aléatoires dont on pourrait comprendre la structure algébrique grâce aux propriétés de leurs analogues discrets.