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Grandes déviations et convergence du spectre de matrices aléatoires

Date
jeu 05 déc 2019
Horaires

14h00

Lieu(x)

Amphi A

Intervenant(s)

Soutenance de thèse de M. Jonathan HUSSON de l'UMPA, sous la direction de Mme Alice GUIONNET

Langue(s) des interventions

Description générale

    La théorie des matrices aléatoires a connu ses débuts dans les années 1930 avec les travaux de Wishart qui s’intéressait alors aux matrices de covariance empirique puis s'est fortement développée à partir des années 1960. Ses applications recouvrent aujourd'hui un très large éventail de disciplines à la fois en mathématiques et au dehors comme en physique et en ingénierie des télécommunications. 
    Pour des matrices aléatoires, en dehors du cas des ensembles gaussiens où les formules de Weyl explicitent la densité jointe des valeurs propres, peu de résultats de grandes déviations sont connus. Cette thèse expose des résultats de grandes déviations pour la plus grande valeur propre sur une classe de matrices de Wigner et de Wishart qui vérifient une borne sous-gaussienne. Sur cette classe, on retrouve alors la même fonction de taux que celle du cas gaussien. On étend ensuite ces résultats à des matrices de Wigner à profils de variance dans la même classe sous-gaussienne. On s'intéresse ensuite au cas où l'on relaxe cette borne sous-gaussienne. Dans ce cas, on obtient alors des grandes déviations faibles lorsque la plus grande valeur propre est grande. 
    La seconde partie de cette thèse porte sur le comportement de la plus petite valeur singulière pour un polynôme de matrices de Ginibre non-hermitien. Produire une borne inférieure pour ces valeurs singulières est en effet crucial pour prouver des résultats de convergence sur la mesure empirique.pour des matrices non-hermitiennes. Des méthodes de linéarisation et d’anti-concentration nous permettent d'obtenir de telles bornes et donc de prouver ladite convergence. 

Gratuit
Mots clés
Disciplines