Agenda de l'ENS de Lyon

"Cette thèse est divisée en trois parties. Dans une première partie, on donne une description nouvelle de la récurrence par chaînes reposant sur l'utilisation d'une barrière ultramétrique. Cette approche permet de munir l'ensemble des composantes transitives par chaînes d'une structure ultramétrique expliquant leur topologie et de retrouver un théorème célèbre de Charles Conley concernant l'existence de fonctions de Lyapounov décroissant strictement le long des orbites non-récurrentes par chaînes. La plupart de ces résultats, donnés dans un premier temps dans le cadre d'un espace métrique compact pour une application continue, sont généralisés au cas des applications multivaluées dans un espace métrique séparable quelconque. Dans la deuxième partie de cette thèse, on développe une théorie d'Aubry-Mather pour les homéomorphismes d'un espace métrique compact. On introduit dans ce cadre un ensemble d'Aubry métrique, puis topologique, ainsi qu'un ensemble de Mañé, permettant de mieux comprendre les fonctions de Lyapounov d'un tel système dynamique. Dans une dernière partie, on montre un résultat général de densité de certains contre-exemples au théorème de Sard pour lesquels l'ensemble des points critiques est un arc topologique et on donne des applications dynamiques de ce résultat."