Laurent VEYSSEIRE
La courbure de Ricci grossière d'un processus markovien sur un espace polonais est définie comme un taux de contraction local de la distance de Wasserstein W1 entre les lois du processus partant de deux points distincts.
La première partie de cette thèse se place dans des espaces polonais quelconques. Un premier résultat est que l’infimum de la courbure de Ricci grossière est un taux de contraction global du semi–groupe du processus pour la distance W1 entre mesures de probabilité. Quoiqu’intuitif, ce résultat est difficile à démontrer en temps continu. La preuve, et les conséquences pour le trou spectral du générateur, font l’objet du chapitre 1.
Un autre résultat intéressant, faisant intervenir les valeurs de la courbure de Ricci grossière en différents points, et pas seulement son infimum, est un résultat de concentration des mesures d’équilibre (chapitre 2).
La seconde partie de cette thèse traite du cas particulier des diffusions sur variétés riemanniennes. Une formule est donnée permettant d’obtenir la courbure de Ricci grossière à partir du générateur de la diffusion. Quand la métrique est adaptée à la diffusion, nous montrons l’existence d’un couplage entre les trajectoires issues de deux points tel que la courbure de Ricci grossière est exactement le taux de décroissance de la distance entre ces trajectoires. On prouve alors que le trou spectral du générateur de la diffusion est plus grand que la moyenne harmonique de la courbure de Ricci. Ce résultat peut être généralisé lorsque la métrique n’est pas celle induite par le générateur, mais la courbure que l’on doit choisir n’est plus la courbure de Ricci grossière, mais une autre qui est toujours plus petite.
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