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Analyse asymptotique d’équations aux dérivées partielles appliquées à l’étude de processus biologiques de diffusion anormale

Soutenance de thèse
Soutenance de thèse de M. Alvaro MATEOS GONZALEZ de l'ICJ - UCBL sous la direction de M. Vincent CALVEZ
22 septembre 2017
11h00

Lieu(x) :

Site Monod - 46 allée d'Italie
Amphi A - Site Monod - ENS de Lyon
Cette thèse porte sur l’analyse asymptotique d’équations aux dérivées partielles issues de modèles de déplacement sous-diffusif en biologie cellulaire. Elle est motivée par l’observation récente de protéines dont le déplacement aléatoire dévie de la diffusion normale.
Dans le premier Chapitre, nous étudions la décroissance auto-similaire de la solution d’une équation de renouvellement à queue lourde vers un état stationnaire. Les idées mises en jeu sont inspirées de méthodes d’entropie relative.
Les principaux apports de ce Chapitre sont la preuve d’un taux de décroissance en norme L1 vers la loi de l’arc-sinus et l’introduction d’une fonction pivot dans une méthode d’entropie relative.
Le second Chapitre porte sur la limite hyperbolique d’une équation de renouvellement structurée en âge et à sauts en espace. Nous y prouvons un résultat de stabilité : les solutions des problèmes rééchelonnés à ε > 0 convergent lorsque ε → 0 vers la solution de viscosité de l’équation de Hamilton-Jacobi limite des problèmes à ε > 0. Les outils mis en jeu proviennent de la théorie des équations de Hamilton-Jacobi.
Ce Chapitre présente trois idées intéssantes. La première est celle de prouver le résultat de stabilité sur la condition de bord du probl`eme plutˆot que d’utiliser des fonctions test perturbées. La deuxième consiste en l’introduction de termes correcteurs logarithmiques en temps dans des estimations a priori ne d´ecoulant pas directement du principe du maximum. Cela est dû à la non-existence d’un équilibre du problème homogène en espace. La troisième est une estimation précise de la décroissance de l’influence de la condition initiale sur le terme de renouvellement. Elle correspond à une estimation fine d’une version non-locale de la dérivée temporelle de la solution.

Au cours de cette thèse, des simulations numériques de type Monte Carlo, schémas volumes finis, Lax-Friedrichs et Weighted Essentially Non Oscillating ont été réalisées.

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Mise à jour le 11 septembre 2017
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