Intervenant(s)
Soutenance de thèse de M. Loïc RICHIER de l'UMPA sous la direction de M. Grégory MIERMONT
Description générale
Cette thèse porte sur des limites de grandes cartes à bord aléatoires.
Dans un premier temps, nous nous intéressons aux propriétés géométriques de telles cartes. Nous montrons d’abord des résultats concernant les limites d’échelle et les limites locales du bord de cartes de Boltzmann dont le périmètre tend vers l’infini, que nous appliquons à l’étude du modèle O(n) rigide sur les quadrangulations. Ensuite, nous introduisons une famille de quadrangulations à bord infini, dites avec torsion, dont on étudie les limites d’échelle et la structure de branchement. Enfin, nous établissons une propriété de confluence des géodésiques dans la limite locale de quadrangulations à bord uniformes.
Dans un second temps, nous considérons des modèles de percolation de Bernoulli sur des limites locales de cartes à bord, les triangulation et quadrangulation uniformes infinies du demi-plan. Nous calculons le seuil de percolation par site critique dans le cas quadrangulaire, et établissons une propriété d’universalité de ces modèles de percolation au point critique à partir des probabilités de croisement. Pour finir, nous étudions la limite locale de grands amas de percolation critiques dans le cas triangulaire, en construisant l’amas critique émergent, une triangulation uniforme infinie du demi-plan munie d’un amas de percolation critique infini.
Mots-clés. Cartes aléatoires, percolation, modèle O(n), limites locales, limites d’échelle.
Dans un premier temps, nous nous intéressons aux propriétés géométriques de telles cartes. Nous montrons d’abord des résultats concernant les limites d’échelle et les limites locales du bord de cartes de Boltzmann dont le périmètre tend vers l’infini, que nous appliquons à l’étude du modèle O(n) rigide sur les quadrangulations. Ensuite, nous introduisons une famille de quadrangulations à bord infini, dites avec torsion, dont on étudie les limites d’échelle et la structure de branchement. Enfin, nous établissons une propriété de confluence des géodésiques dans la limite locale de quadrangulations à bord uniformes.
Dans un second temps, nous considérons des modèles de percolation de Bernoulli sur des limites locales de cartes à bord, les triangulation et quadrangulation uniformes infinies du demi-plan. Nous calculons le seuil de percolation par site critique dans le cas quadrangulaire, et établissons une propriété d’universalité de ces modèles de percolation au point critique à partir des probabilités de croisement. Pour finir, nous étudions la limite locale de grands amas de percolation critiques dans le cas triangulaire, en construisant l’amas critique émergent, une triangulation uniforme infinie du demi-plan munie d’un amas de percolation critique infini.
Mots-clés. Cartes aléatoires, percolation, modèle O(n), limites locales, limites d’échelle.
Complément
Amphi A - UMPA : Site Monod - ENS de Lyon
Disciplines