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Il n’existe que 15 pavages pentagonaux possibles

Publication du LIP
Publié le : 29 août 2017
Pavages_Rao.jpg Les 15 types de pavages pentagonaux et leurs 4 types particuliers © Michaël Rao,

Recouvrir une surface plane avec un motif unique est un problème mathématique qui intéresse l'Homme depuis l'Antiquité, notamment pour la qualité décorative des pavages, comme les mosaïques et les carrelages. L’un des problèmes encore ouvert dans ce domaine, qui questionne la communauté scientifique depuis 1918, est aujourd’hui définitivement clôt grâce à Michaël Rao, mathématicien, chargé de recherche CNRS au Laboratoire d'informatique du parallélisme (LIP) : en utilisant des outils informatiques, il a démontré que pour des motifs à cinq côtés, seules 15 formes sont possibles pour recouvrir une surface plane. Ces travaux sont aujourd’hui disponibles sur le site Arxiv.org.

Pour recouvrir un sol avec une seule et même forme, il existe de nombreuses solutions : triangles, carrés, rectangles, hexagones, etc. La recherche exhaustive de toutes les formes convexes pouvant paver un plan, c'est-à-dire une forme avec des angles inférieurs à 180° et qui permettent de recouvrir tout un mur sans chevauchement, fut initiée par Karl Reinhardt durant sa thèse en 1918. Il a montré que tous les triangles et quadrilatères pavent le plan, qu’il n’existe que 3 types d'hexagones qui permettent de réaliser un pavage et qu’un polygone à sept côtés ou plus ne permet pas de recouvrir un plan. Seule la question des pentagones restait ouverte.

De 1918 à 2015, 15 types de pentagones ont été trouvés, lors d'une recherche plutôt singulière : initiée par Reinhardt en 1918, elle a subi plusieurs rebondissements, comme des nouvelles découvertes de mathématiciens amateurs, jusqu'à l’annonce médiatisée, en 2015, d'une nouvelle et 15e forme, 30 ans après la 14e, sans que la communauté scientifique ne parvienne à déterminer s’il existait encore d’autres formes de pentagones possibles pour paver un plan.

Pour clore ce débat, Michaël Rao, a montré qu'il n'existe qu'un ensemble fini de familles de pentagones à considérer. En générant toutes les possibilités de manière exhaustive via un programme informatique : 371 familles de pentagones pouvaient potentiellement recouvrir un plan. Il a ensuite testé chacune de ces familles, à l'aide d'un autre programme informatique, et a montré que seuls 19 types de pentagones remplissaient les conditions nécessaires, à la fois pour les angles et la longueur des côtés, pour paver un plan. Parmi ces 19 types, 15 correspondent aux types déjà connus, et les quatre autres s'avèrent être des cas particuliers de ces 15 types. Seuls 15 types de tuiles sont donc possibles pour un recouvrir une surface plane.

Avec sa méthodologie, Michael Rao clôt ainsi un problème vieux d’un siècle, mais pas seulement. Toutes les tuiles convexes pavent le plan de façon périodique (c’est-à-dire que le pavage se répète à l'infini). On ne sait pas encore s’il existe une tuile qui permet de réaliser un pavage non-périodique. Or, la plupart des techniques utilisées ici peuvent également être utilisées dans le cas des polygones non convexes et pourraient donc servir de base à la résolution de cet autre problème encore ouvert dans le domaine des pavages, plus connu sous le nom d’ « Einstein Problem » (de l’allemand « ein stein »).

1. Une "famille" est un ensemble de conditions portant uniquement sur les angles du pentagone.
2. L’exhaustivité de cette liste a également été revérifiée, de manière indépendante, par Thomas Hales qui a notamment prouvé la conjecture de Kepler par ordinateur.



Références : Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane. Michaël Rao, Arxiv.org, arXiv:1708.00274

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Pour en savoir plus sur les pavages, lire l'article publié dans Quanta Magazine (en anglais) : Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem
 
 
Mise à jour le 31 août 2017
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