Ordered Soft Matter

We will describe the large scale properties of soft materials realizing broken-symmetry phases. We will introduce generic principles to address the statics and dynamics of systems as diverse as liquid crystals, fluid membranes, polymer chains, active fluids, animal flocks, cell tissues and bacteria fluids.

1— Generalized elasticity of soft matter 
 Elastic description of broken symmetry phases from symmetry considerations 

2— Elastic response and elastic interactions
Mean field response of soft modes: scale-free and screened interactions in ordered mesophases and interfaces.

3— Thermal fluctuations of soft matter
Scale free correlations, fluctuation-dissipation relations, Mermin-Wagner theorem and entropic forces in broken symmetry phases. 

4— Introduction to topological defect
Topological defects of elastic fields: classification, nucleation and interactions

5— Generalized hydrodynamics
Constructions of matter hydrodynamics from symmetry considerations and conservation laws. 

6—  Introduction to active-matter physics.
Hydrodynamics of flocks and crowds.

'Amorphous' Soft Matter

We will investigate the general principles that underpin the structure - or lack thereof - and mechanical response of diverse soft 'amorphous' materials (from micelles and membranes to colloidal suspensions, gels, and glasses), behind their apparent diversity and complexity. The focus will notably be put on the possibility to observe dynamical arrest without the onset of order (lectures 9, 10, 11, 12). The lectures have been articulated around general principles, but each one will be introduced by a specific physical problem.

7— Structures governed by geometry
* The multiple facets of micelles (surfactants, micelles, worm-like micelles, analogy with Bose-Einstein condensates).
* Elasticity of membranes
* Plateau-Rayleigh instability

8—  Structures governed by combinatorics (will only be partly covered)
* Statistical Physics and Information Theory approaches to combinatorics
* The adsorption problem
* Colloidal phases: a statistical approach
* An information theoretic view of colloidal physics
* The Kauzmann paradox for glasses

9— Network-based approaches to material properties
* Reminder about Maxwell's constraint counting criterion
* The physics of gelation
* Network-based approach to gelation; percolation; universal class associated with percolation
* Formal connection with epidemiology models

10— Dynamical arrest (glassy dynamics) 1/2: The potential energy landscape perspective
* The potential energy landscape
* Reminder about the different types of dynamics (ballistic, diffusive, activated)
* Eyring's theory of viscous liquids
* Trap models for glasses; extension to the unclogging of granular flows

11— Dynamical arrest (glassy dynamics) 2/2: Mode-coupling theory (may not be covered)
* Reminder about the Langevin equation
* Zwanzig-Mori formalism
* The mode-coupling description of the glass transition (schematic approach)

12— Deformation and failure of amorphous solids
* Phenomenology of material deformation and failure
* Fiber bundle models
* Elastoplastic models and analogies with depinning problems

Partie A: Relativité Générale

I. Action d'Einstein-Hilbert:
Tenseurs de métrique et courbures; Action d'Einstein-Hilbert et Equations d'Einstein; Invariance sous difféomorphisme et transformations conformes

II. Formalisme ADM:
Evolution de la métrique; Décomposition 3+1; Courbures Intrinsèque/Extrinsèque; Equation de Gauss-Codazzi; Formulation Hamiltonienne et Algèbre de Dirac

III. Formulation du 1er ordre:
Géométrie différentielle; Vierbein et Connection de Lorentz; Action de Palatini

IV. Espace-temps homogènes: de Sitter, anti de Sitter, diagrammes de Penrose

V. Physique des trous noirs:
Métrique de Schwarzschild et extensions; radiation de Hawking; Modes quasi-normaux; Lois de la thermodynamique des trous noirs

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Partie B: Cosmologie

1. Modèle cosmologique standard
1.1. Métrique de Robertson et Walker
1.2. Equations de Friedmann
1.3. Une brève histoire de l'Univers
1.4. Problèmes de la matière noire et énergie noire

2. Le plasma primordial
2.1. Modèle du Big-Bang chaud
2.2. Particules originelles et radiation(s)
2.3. Nucléosynthèse primordiale
2.4. Fond de rayonnement cosmologique (+ détermination des paramètres cosmologiques)

3. Formation des structures
3.1. Fluctuations primordiales (et un soupçon d'inflation)
3.2. Evolution linéaire
3.3. Evolution non-linéaire
3.4. Modélisation

Lecture 1: Sums of random variables
Statistics of sums of random variables, central limit theorem and its generalization to broadly distributed random variables. Examples of correlated or non-identically distributed random variables. Large deviations and their relevance in statistical physics.
Application of sums of random variables to equilibrium disordered systems, example of the Random Energy Model.

Lecture 2: Stochastic processes
Markov jump processes, master equation, detailed balance. Random walk on a lattice. Diffusive limit and diffusion equation. Continuous time random walks and anomalous diffusion.
Statistics of the first return time of a random walk.
Relaxation to equilibrium, increase of entropy, expansion over the eigenvectors of the Markov operator. Non-stationary dynamics at large time and aging phenomenon.

Lecture 3: Langevin and Fokker-Planck equations
Langevin equation, definition and physical motivation. Detailed balance.
Fokker-Planck equation. Derivation from a biased random walk on a lattice. Kramers-Moyal expansion. Stationary solution without flux (equilibrium) and with flux. Physical examples.
Relaxation to equilibrium and Ornstein-Uhlenbeck process.
Langevin equation with multiplicative noise, Ito and Stratonovitch discretization rules. Corresponding Fokker-Planck equation. Wong-Zakai theorem. Stochastic on-off intermittency as an example of multiplicative noise. Stochastic calculus and Ito's lemma.

Lecture 4: Response to an external field
Linear response close to equilibrium. Response function and Kubo formula. Time-correlation function and fluctuation-dissipation relation. Microreversibility and symmetry of response functions. Kramers-Krönig relation.
Statistics of trajectories and fluctuation relation far from equilibrium. Comparison of a trajectory with the time-reversed one. Statistics over trajectories. Fluctuation relation for discrete-time stochastic processes. Jarzinsky and Crooks relations.

Lecture 5: Examples of N-body distributions in stationary nonequilibrium states
One-dimensional lattice particle models, Zero-Range Process, Asymmetric Simple Exclusion Process. Matrix Product Ansatz solution.
Tapping dynamics for granular matter: Edwards postulate for the N-body distribution.
Approximate N-body distribution for interacting active particles with random self-propulsion forces.

Lecture 6: Effective description in terms of one-body problem
Dynamics with persistent interactions, approximation in terms of a non-linear Fokker-Planck equation with a self-consistent force field.
Collisional dynamics in the dilute regime, kinetic theory for the one-body distribution.
Principle of the derivation of continuum equations for the slow modes.

I. Champs quantiques libres (rappel)
Champs de Klein-Gordon, champs de Dirac

II. Interactions
Théorie des perturbations, diagrammes de Feynman, matrice S, amplitudes de diffusion, désintégrations et sections efficaces

III. Electrodynamique Quantique (QED)
Invariance de jauge, quantification des champs de jauge, couplage à la matière, règles de Feynman, processus de QED

IV. Méthodes fonctionnelles en théorie des champs
Intégrales de chemin, intégrale fonctionnelle pour les champs scalaires, intégrale fonctionnelle pour les champs spinorielles

V. Renormalisation perturbative
Régularisation dimensionnelle, renormalisation à 1 boucle de la théorie phi4, renormalisation à une boucle de la QED, identités de Ward-Takahashi

1 – Introduction et motivations

2 – Intégrales de chemin en mécanique quantique

3 – Compléments sur dérivée fonctionnelle et intégrales gaussiennes

4- Intégrales de chemin gaussiennes - Déterminants fonctionnels

5- Fonctionnelle génératrice et développements perturbatifs

6 – Fonctions de corrélation

7- Indications sur l'intégrale de chemin en théorie quantique des champs

8 – États cohérents et représentation holomorphe

Part 1:  Conformal Symmetry
- the conformal group in arbitrary dimensions
- correlation functions in conformal field theories
- two-dimensional conformal theories and the Virasoro algebra

Part 2:  Supersymmetry
- Coleman-Mandula theorem and superalgebras
- superspaces
- representation theory: supermultiplets
- supersymmetric field theories

- Introduction aux théories de jauge non-Abéliennes classiques (Champs, actions, symétries et courants conservés ; Analogie avec la relativité générale)
- Quantification BRST, diagrammes de Feynman, renormalisabilité, observables
- Quelques applications (Calculs à l'arbre et à une boucle)
- Brisure spontanée de symétrie (discrète, continue), théorème de Goldstone
- Mécanisme de Higgs, modèle de Higgs-Kibble
- Modèle standard pour l'interaction électrofaible et extensions (GUT)
- Groupe de renormalisation

1. Introduction à la mécanique des fluides en général et à la turbulence en particulier
Phénoménologie et rappel de l'équation de transport d'impulsion (équations de Navier-Stokes). Présentation de quelques écoulements turbulents traditionnels (Canal, Convection de Rayleigh-Bénard, la turbulence homogène et isotrope). Introduction des échelles caractéristiques de la turbulence.

2. Approches empiriques en turbulence
Méthodes expérimentales (fil chaud et imagerie de particules) et numériques (la simulation numérique directe des équations de Navier-Stokes).

3. Une description probabiliste de la turbulence
Quelques notions sur les champs aléatoires: symétries, spectres de puissance, fonctions de corrélation. Définition de la turbulence homogène et isotrope.

4. Transport turbulent de quantité de mouvement et de chaleur
Décomposition et tenseur de Reynolds. Viscosité turbulente et modèle de longueur de mélange. Application au cas du canal. Dynamique de la température et nombre de Richardson.

5. Bilan d'énergie
Exemples de la convection de Rayleigh-Bénard et des écoulement cisaillés avec parois. Définition de la couche limite (laminaire et turbulente).

6. Turbulence homogène et isotrope
Théories de Kolmogorov. Lois de répartition spectrale de l'énergie, la cascade d'énergie vers les petites échelles. Phénomènes de transport d'énergie à travers les échelles : Relation de Kármán–Howarth et approches analytiques. Étude et modélisation du phénomène d'intermittence. Le mécanisme d'étirement de la vorticité. Invariance d'échelle – Fractalité et Multifractalité. Ouverture sur une approche stochastique de la turbulence.

Bibliographie
A first cours in turbulence, Tennekes and Lumley, MIT Press.
Turbulent Flows, S. Pope, CUP.
Turbulence, U. Frisch, CUP.

Ce cours utilise une pédagogie par projet. Il s'agira de mener un projet de modélisation en géophysique interne ou planétologie afin de répondre à une question scientifique. Le projet est construit de A à Z par l'étudiant avec l'équipe pédagogique en soutien. La première séance fixe le cadre organisationnel et scientifique avec quelques bases et les enseignants proposent quelques idées de projets. Les séances qui suivront serviront à accompagner les étudiants dans l'avancée de leur projet, que ce soit sur les concepts, les expériences/calculs ou l'acquisition d'outils techniques. L’UE est évaluée par un rapport et une soutenance début janvier. L’accent est mis sur la démarche scientifique plutôt que sur les résultats, forcément limités sur une courte durée. 

Introduction / outils théoriques
Cinématique, règles de Feynman
QED
Amplitudes d’hélicité, Renormalisation, Effets NLO
Structure du proton
Fonctions de structure, Modèle des partons
Interaction faible
Courants chargés, structure chirale, courant neutres
Physique de la saveur
Matrice CKM, violation de CP
Modèle standard
Unification électrofaible, Higgs
Physique des neutrinos
Oscillation de neutrinos, masse des neutrinos
Astrophysique et cosmologie
Multi-messagers, ondes gravitationnelles (exp.)

Outils et méthodes
Détection
Interaction particule/Matière, trajectographes, calorimètre, etc..
Outils d’analyse
Probabilité, Statistique 

1. Introduction: phenomenology of phase transitions, quantum phase transitions and non-equilibrium phase transitions
2. The Ising model : transfer matrix, spontaneous symmetry breaking, Mermin-Wagner theorem

3. Mean-field theory: variational approach, Ginzburg-Landau theory, Ginzburg-Landau criterion for the fluctuations
3. Phenomenological description of scale invariance : scaling forms and scaling laws
4. Real-space renormalization: Block spins and renormalization group, fixed points and critical exponents, renormalization of the 2D Ising model
5. Momentum-space renormalization: Wilson, Polchinski and Wetterich equations, equilibrium and non-equilibrium formalism.

I.- Introduction to elasticity of continuous media

II.- Thin elastic plates

II.1.- Introduction: differential geometry of a surface, equations

II.2.- Buckling: roll-like patterns, growth-induced patterns

II.3.- Singularities: focussing of energy around points (developable cones) and lines (stretching ridges)

II.4.- Patterns from singularities and foldable structures

 
III.- Fracture Mechanics

III.1.- Linear Elastic Fracture Mechanics

III.2.- Quasi-static crack propagation: instabilities and crack-induced patterns

III.3.- Fast fracture: dynamics, instabilities.

III.4.- Application to friction

1. Introduction à l'intégrabilité classique en mécanique du point
Rappel sur la formulation Hamiltonienne et Lagrangienne de la mécanique classique, les intégrales du mouvement et les symétries. Systèmes complètement intégrables selon Liouville, séparation des variables et variables d'action-angle pour une particule dans un potentiel central, règles de quantification de Bohr-Sommerfeld.

2. Introduction à l'intégrabilité quantique
Généralisation au cas quantique des définitions de l'intégrabilité, méthode de diffusion inverse quantique, modèles quantiques sur réseau, la matrice de monodromie et de transfert, les équations de Yang-Baxter, les méthodes de diagonalisation exacte: Ansatz de Bethe. L'exemple de la chaîne XXZ de spin 1/2 quantique.

3. Introduction à l'intégrabilité classique en théorie des champs
Connexion de Lax, Modèles sigma intégrables

- The nature of GW and its historical evolution
- Sources of GW
- Specific characteristics of GW: what we can read from the GW signal
- The interferometric detectors of GW
- Some challenges in the design of GW detectors
- The future of GW Astronomy

1. The relation between large deviation theory and thermodynamical potentials
 
2. Computation of free energy and entropy functions for some basic problems in statistical physics

3. The relation between large deviation theory and thermodynamical potentials

4. Computation of free energy and entropy functions for some basic problems in statistical physics

5. Gallavoti, Cohen and Evans fluctuation theorems, Crooks and Jarzynski inequality and fluctuation theorem, some of the major developments of statistical mechanics basis during the last two decades

6. The relation between kinetic theory, large deviation theory, and the irreversibility paradox

7. The use of large deviation theory for dynamical system theory (finite time Lyapunov exponents)
 
8. Large deviation theory and disordered systems

9. propagation, transport) and turbulence (self-organization, turbulent transport)

10. The study of multistability phenomena in a multitude of physical applications (magnetic systems, physical chemistry, polymers, turbulence, and so on)

11. Application of large deviation theory for a model of Jupiter's Great Red Spot, and several applications to climate dynamics.)

1. Introduction to the General Circulation of the Atmosphere and Ocean
2. Fundamental Equations and Phenomena
   - Boussinesq approximation, primitive equations, shallow water equations, quasi-geostrophic approximation
   - Rossby waves, gravity waves, barotropic instability
3. Atmospheric dynamics
   - baroclinic instability and mid-latitude dynamics
   - tropical dynamics: Hadley cell, convection and tropical waves
4. Oceanic dynamics
   - wind-driven circulation
   - thermohaline circulation
5. Predictability

I. Overview: What is string theory?

II. Classical (bosonic) string

III. Quantization of bosonic string

IV. Compactification

0. Introduction
Objectif du cours, notions de base de topologie, rappel de théorie des bandes.

1. Phase géométrique de Berry
a. (Rappel:) électrons dans un champ magnétique et la phase d’Aharonov-Bohm.
b. Notion de transport adiabatique, définition de la phase de Berry
c. Transport semi-classique et courbure de Berry.

2. Le graphène
a. Modèle de liaisons fortes, fermions de Dirac.
b. Caractérisation physique du graphène : l'effet Hall quantique, notions d'états de bord, formalisme de Landauer.
c. Phases de Berry topologique associée aux cônes de Dirac. Conséquences physiques.

3. Effet Hall quantique
a. Discussion des niveaux de Landau, propriétés physique de la phase d’Effet Hall Quantique.
b. Introduction au formalisme de Landauer du transport, lien entre propriété topologique et états de bords.
c. Analogue de l'effet Hall quantique : la phase de Haldane dans le graphène. Interprétation géométrique de l'invariant TKNN.

4. Isolants topologique et spin orbite
a. Invariance par renversement du temps et paires de Kramers.
b. Du modèle de Haldane au modèle de Kane et Mele. États de bords.
c. Un nouvel invariant topologique.

Bibliographie

Graphene, Mikhail I. Katsnelson, Cambridge University Press (2012)
Topological Insulators and Topological Superconductors, B. Andrei Bernevig, Princeton University Press (2013)
Field Theories of Condensed Matter Physics, Eduardo Fradkin, Cambridge University Press; 2nd Edition (2013)

1) Climat et bilan d’énergie de la Terre : Transfert radiatif, effet de serre, bilan radiatif, profil vertical de l’atmosphère, modèle radiatif, modèle 1D rayonnement convection, ....

2) Modélisation et observation du système climatique couplé. Circulation atmosphérique et océanique, couplage atmosphère-océan-cryosphère, couplage avec les cycles biogéochimiques, évolution récente et projection future du climat,

3) Comprendre et quantifier la réponse du climat à des perturbations : forçage, rétroactions climatique (vapeur d’eau, nuages, cryosphère…), sensibilité climatique, changements des précipitations,

4) Variabilité et dynamique du climat : système dynamique, mode de variabilité naturelle, détection-attribution, paléoclimat,…

1. Local and Symmetry, Noether’s theorem, conserved charges, local and global symmetry, symmetry versus gauge freedom, minimal coupling of gauge fields. 

2. Generators of symmetry transformations, definition of SSB, singular limits, elements of group theory, Anderson tower of almost degenerate states, order parameter, long-range order.

3. Examples of SSB:  Josephson effect, Heisenberg Ferromagnet, Néel state, Bose-Einstein Condensation U(1), chiral symmetry breaking (SU2)

4. Goldstone’s Theorem, Anderson-Higgs mechanism & Meissner effect

5. Mermin–Wagner–Hohenberg–Coleman theorem, and its exceptions (graphene, BKT transition)