Cartes aléatoires et géométries aléatoires de dimension 2
Une carte plane est un graphe plongé dans la sphère de dimension 2. En un sens, un tel objet munit la sphère d'une géométrie discrète, de sorte qu'une carte aléatoire de grande taille est un candidat naturel pour une notion de « métrique aléatoire définie sur la surface ». Cette idée émerge en physique théorique au début des années 1980, afin de donner une approche possible de la gravité quantique de dimension 2, où sont considérées des intégrales sur toutes les métriques Riemanniennes d'une surface donnée, par rapport à une mesure « uniforme » mal définie. Il est donc attendu que, si l'on ré-échelonne les distances de façon convenable, une grande carte plane aléatoire converge vers une sphère munie d'une métrique aléatoire, et nous verrons comment donner un sens à cette intuition. Cette situation est analogue à la convergence des marches aléatoires vers le mouvement brownien, et à l'instar de ce dernier, les surfaces aléatoires qui apparaissent dans ce contexte sont irrégulières, très loin d'être des variétés riemanniennes lisses. Ceci rend leur étude d'autant plus intéressante, puisqu'il est nécessaire de s'intéresser à des notions géométriques qui ont toujours un sens dans ce contexte, comme les distances ou les géodésiques. Nous discuterons également de conjectures liant les cartes aléatoires avec des champs aléatoires invariants conformes définis sur le plan, conjectures issues elles aussi de la physique théorique, et plus précisément de la gravité quantique de Liouville.