La dynamique des systèmes physiques est un sujet très vaste, allant du monde microscopique
aux systèmes planétaires. Dans tous ces systèmes, différentes formes de dynamique se
manifestent: des mouvements réguliers et prévisibles, qui se prêtent à une description théorique
avancée (notamment en mécanique analytique); et des mouvements chaotiques, à savoir
apériodiques et très sensibles aux conditions initiales, dont la compréhension quantitative n’est
accessible que au calcul numérique. Ce cours a pour but d’explorer la frontière entre dynamique
régulière et chaotique dans des systèmes simples en physique (systèmes mécaniques,
électroniques etc.), afin de pouvoir appliquer cette compréhension aux systèmes plus complexes,
en physique et au delà (p.e. en biologie, chimie, écologie). La partie finale du cours sera aussi dédiée
à l’introduction de la notion de chaos en mécanique quantique.
1) Introduction: systèmes dynamiques en physique classique. Equations de Hamilton, espace
des phases et portrait des phases, théorème de Liouville;
2) Transformations canoniques, variables action-angle, integrabilité dans les systèmes à N corps,
tores invariants;
3) Théorie des perturbations, systèmes quasi-integrables et théorème Kolmogorov-Arnol’d-
Moser (notions); problème de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou;
4) Chaos dans les systèmes Hamiltoniens fermés; système de Hénon-Heyles; exposants de
Lyapounov; entropie de Kolmogorov-Sinai;
5) Systèmes ouverts: points fixes, bifurcations, cycles limites. Transition laser, oscillateur de van
der Pol, oscillateur de Duffing;
6) Systèmes forcés périodiquement: stabilisation dynamique, résonances paramétriques,
applications non-linéaires; rotateur pulsé;
7) Systèmes non-linéaires en physique et delà: application logistique et doublement des
périodes, modèle de Lorenz et attracteur étrange;
8) Chaos en mécanique quantique: signatures spectrales des systèmes chaotiques, matrices
aléatoires. Rotateur et toupie pulsés quantiques, localisation vs. chaos.
Notions de résolution d'équations différentielles ordinaires; algèbre linéaire; il est souhaitable (mais pas indispensable!) d'avoir suivi le cours de Mécanique Quantique et Mécanique Analytique au 1er semestre, et de suivre en parallèle le cours de Physique Statistique
Examen écrit.