Bord de la tour de Drinfeld et correspondance de Langlands locale p-adique

Résumé de la thèse

On calcule le complexe de de Rham du bord de la tour de Drinfeld, ce qui généralise un résultat de Dospinescu-Le Bras. On précise des conditions suffisantes pour vivre au-dessus du bord du demi-plan de Drinfeld, en utilisant l'action de l'algèbre de Lie de GL2 (cela généralise au bord du demi-plan les résultats de dualité de Morita). Après une étude détaillée du côté arithmétique, on prouve que l'équation différentielle supercuspidale vérifie ces conditions. Cela permet de faire vivre cette dernière sur le bord du demi-plan, et il ne reste qu'à utiliser les informations données par l'isomorphisme de Breuil-Strauch pour terminer le calcul.

The main result is the computation of the de Rham cohomology of the boundary of the Drinfeld tower, building on a result of Dospinescu-Le Bras. We give precise sufficient conditions for a space to live over the boundary of the Drinfeld upper half-plane, generalizing results of Morita. A detailed study of the relevant arithmetic object, namely the supercuspidal differential equation, shows that it satisfies those conditions. Once the structure above the half-plane is defined, a careful study of the isomorphism of Breuil-Strauch enables us to end the computation.