Définition et dérivation rigoureuse de modèles effectifs en mécanique quantique à N corps

Résumé de la thèse

L'objet de cette thèse est d'étudier la définition et la dérivation mathématiquement rigoureuse de modèles effectifs en mécanique quantique à N corps. En effet, dans ce domaine, il est souvent impossible de calculer de manière exacte des quantités physiquement intéressantes, comme l'énergie fondamentale d'un système, à cause du nombre important de degrés de liberté. Ainsi, l'introduction de modèles effectifs, dépendant par exemple uniquement de la densité locale en particules, permet de calculer ces quantités. Il reste alors à vérifier que le modèle effectif est bien une approximation du modèle exact dans une limite macroscopique, c'est à dire à grand nombre de particules. Par ailleurs, dans certains modèles, certaines quantités physiques (énergie, amplitude de diffusion…) calculées naïvement semblent infinies. Il faut alors renormaliser la théorie, c'est à dire faire disparaître ces divergences (qui ne sont pas observées expérimentalement). Après avoir replacé les résultats de cette thèse dans leur contexte dans l'introduction, on s'intéressera à la renormalisation d'un Hamiltonien bosonique quadratique sur l'espace de Fock – composé de la somme de la seconde quantification d'un opérateur à une particule et du carré d'un opérateur de champ – présentant une divergence ultraviolette (venant de singularités locales donc) dans le Chapitre 2. Plus précisément, on cherchera à définir un opérateur auto-adjoint et à montrer qu'il est, au sens des résolvantes, la limite du Hamiltonien avec troncature ultraviolette quand cette troncature tend vers l'infini. Pour cela, on commencera par diagonaliser le Hamiltonien dans le cas régulier, à l'aide de transformations de Bogolioubov. On pourra ensuite montrer que le Hamiltonien diagonalisé (à renormalisation de l'énergie et de la charge près) définit toujours un opérateur auto-adjoint, et montrer la convergence du Hamiltonien avec troncature. Dans un second temps, on étudiera la limite semi-classique de gaz de fermions dans deux régimes différents. Dans le Chapitre 3, on s'intéressera à la limite diluée (c'est-à-dire avec une portée d'interaction très petite devant la distance typique entre particules) d'un gaz de fermions inhomogène (car piégé par un potentiel V), avec des interactions répulsives et en trois dimensions. Du fait du principe d'exclusion de Pauli, deux fermions de même spin ne peuvent que très rarement se trouver assez proches pour interagir, on considérera donc un gaz de fermions à deux composantes de spin. On montrera alors que l'énergie fondamentale d'un tel système peut être approchée, dans la limite grand nombre de particules, par une énergie de type Thomas Fermi, où les interactions jouent le rôle d'une perturbation de l'énergie sans interaction. Ensuite, dans le Chapitre 4, on passera à la limite de champ-moyen (interactions fréquentes mais faibles) d'un gaz de fermions, toujours inhomogène, mais pour des interactions attractives, et en une ou deux dimensions. Là aussi, on montrera la convergence de l'énergie fondamentale vers une énergie de Thomas-Fermi, mais on prouvera également la convergence des états fondamentaux. Plus précisément, on montrera que leurs fonctions de Husimi convergent vers une combinaison convexe de minimiseurs de l'énergie de Vlasov.

The object of this thesis is to study the definition and the mathematically rigorous derivation of effective models in many body quantum mechanics. In this field, it is often impossible to compte exactly physically relevant quantities - such as the ground state energy of a system - because of the large number of degrees of freedom. Hence, introducing effective models (depending only on the local density of particles for instance) allows us to compute these quantities. Then, it remains to check that the effective model is indeed an approximation of the exact model in a macroscopic limit. Besides, in some models, some physical quantities (energy, scattering amplitude...), when computed naively, appear to be infinite. One has then to renormalize the theory in order to make these divergences (that are not observed experimentally) disappear. After putting the results of this thesis into context in the introduction, we will focus on the renormalization of a bosonic quadratic Hamiltonian on the Fock space in Chapter 2. This (formal) Hamiltonian is the sum of the second quantization of a one-particle operator and the square of a field operator, and it exhibits an ultraviolet divergence (i.e. coming from local singularities). More accurately, we will try to define a self-adjoint operator, and to show that it is the limit (in the resolvent sense) of the Hamiltonian with ultraviolet cutoff when the cutoff tends to infinity. To do so, we will first diagonalize the Hamiltonian in the regular case, using Bogoliubov transformations. Then, we will prove that the diagonalized Hamiltonian (up to a renormalization of the energy and the charge) still defines a self-adjoint, and we will show the convergence of the Hamiltonian with cut-off. In a second time, we will study the semi-classical limit of a Fermi gas, in two different scalings. In Chapter 3, we will focus on the dilute limite (i.e. with an interaction range very small compared to the typical distance between particles) of an inhomogeneous (trapped with a potential V) Fermi gas, with repulsive interactions and in three dimensions. Due to the Pauli exclusion principle, two fermions of same spin can only rarely be close enough to interact. Thus, we will consider a Fermi gas with two spin components. We will then show that the ground state energy of such a system can be approximated by a Thomas-Fermi energy (in which interactions play the role of a perturbation of the interactionless energy) in the large number of particles limit. Eventually, in Chapter 4, we will study the mean-field limit (with frequent but weak interactions) of an inhomogeneous Fermi gas, with attractive interactions and in one or two dimensions this time. Once more, we will show the convergence of the ground state energy toward a Thomas-Fermi energy. Moreover, we will also prove the convergence of the ground states. More accurately, we will show that the Husimi functions of these ground states converge to a convex combination of minimizers of the Vlasov energy.