La formule de Parisi et au-delà : une approche des systèmes désordonnés par les EDP

Résumé de la thèse

Cette thèse est consacrée à l’étude des modèles de verres de spin en champ moyen. Pour une large famille de tels modèles, il est bien connu que l’énergie libre peut être représentée comme la valeur maximale d’une fonctionnelle définie sur un ensemble de mesures de probabilité ; il s’agit de la célèbre formule de Parisi. Récemment, il a été observé que la formule de Parisi est liée à une équation aux dérivées partielles de type Hamilton-Jacobi. L’objectif de ce manuscrit est de tirer parti de cette observation afin d’approfondir la compréhension de l’énergie libre limite et d’étudier les équations de Hamilton-Jacobi associées. Un aspect important de la théorie consiste à comprendre le nombre de maximiseurs dans la formule de Parisi. Pour une classe restreinte de modèles, on sait qu’il existe un unique maximiseur. Cette mesure de probabilité unique est appelée la mesure de Parisi ; elle encode plusieurs propriétés importantes du paysage de grande dimension défini par l’Hamiltonien du système. Nous démontrons que l’unicité du maximiseur reste valable pour une large classe de modèles, appelés modèles multi-espèces, et que la mesure de Parisi conserve plusieurs propriétés essentielles du modèle, telles que l’invariance par permutation. Pour les modèles pour lesquels la validité de la formule de Parisi n’a pas encore été démontrée, on conjecture que l’énergie libre limite peut néanmoins être décrite par la solution d’une équation de Hamilton-Jacobi. En lien avec cette conjecture, nous montrons que la formule de Parisi peut être réécrite comme un problème de minimisation. Cela conduit à une nouvelle représentation variationnelle de l’énergie libre limite. Cette formule, que nous appelons une formule de type Hopf, ressemble fortement à une formule variationnelle non standard pour la solution de certaines équations de Hamilton-Jacobi. Au passage, nous développons également de nouveaux outils permettant d’identifier la solution d’une équation de Hamilton-Jacobi au sein d’un ensemble de solutions faibles, en démontrant deux nouveaux principes de sélection.

This dissertation focuses on the study of mean-field spin glass models. For a large family of such models, it is well known that the free energy can be represented as the maximal value of a functional defined on a set of probability measures; this is the celebrated Parisi formula. Recently, it has been observed that the Parisi formula is connected to a partial differential equation of Hamilton-Jacobi type. The goal of this manuscript is to leverage this observation to further the understanding of the limit free energy and to study the associated Hamilton-Jacobi equations. An important aspect of the theory is understanding the number of maximizers in the Parisi formula. For a restricted class of models, it is known that there is exactly one maximizer. This unique probability measure is referred to as the Parisi measure, it encodes several important properties of the high-dimensional landscape defined by the Hamiltonian of the system. We prove that the uniqueness of maximizers holds for a large class of models, known as multi-species models, and that the Parisi measure retains several key properties of the model, such as permutation invariance. For models where the Parisi formula is not proven to hold, it is conjectured that the limit free energy can still be described by the solution of a Hamilton-Jacobi equation. In relation to this conjecture, we prove that the Parisi formula can be rewritten as a minimization problem. This yields a new variational representation for the limit free energy. This formula, which we refer to as a Hopf-like formula, strongly resembles a non-standard variational formula for the solution of certain Hamilton-Jacobi equations. Along the way, we also develop new tools to identify the solution of a Hamilton-Jacobi equation in a set of weak solutions by proving two new selection principles.