Mécanique statistique pour des événements rares en turbulence d'onde et pour le système énergétique

Résumé de la thèse

Les systèmes physiques de grande taille, composés de très nombreux constituants, sont l'objet d'une modélisation physique qui décrit ces constituants, mais aussi d'une prise en compte statistique de leur dynamique. Cette démarche combinée est celle de la physique statistique. Dans la limite d'une taille infinie, la dynamique devient souvent déterministe et décrite par des quantités moyennes. Cependant, pour les systèmes grands sans être infinis, le mouvement des constituants donne lieu à des petites fluctuations stochastiques venant corriger ces évolutions moyennes. Analyser ces fluctuations est central dans plusieurs contextes abordés dans cette thèse. D'une part, en physique théorique, elles expliquent la variabilité intrinsèque aux systèmes, et la dynamique des événements rares qui en découlent. Ces fluctuations peuvent être à l'origine d'instabilités et de transitions abruptes entre deux états dits métastables, comme observées par exemple en dynamique des fluides géophysiques. D'autre part, dans un contexte beaucoup plus appliqué, il est essentiel d'identifier les événements extrêmes et d'évaluer leurs impacts, potentiellement très importants.

Cette thèse a pour premier objectif de comprendre les fluctuations rares pour un large panel de modèles hors équilibre. Pour cela, nous utilisons la théorie des grandes déviations, permettant d'établir des lois de probabilité asymptotiques pour les chemins suivis par le système. Les principales contributions nouvelles sont les suivantes. Tout d'abord, la théorie des grandes déviations pour certaines théories cinétiques est établie. Nous commençons par un modèle de points vortex décrivant simplement la turbulence hydrodynamique en 2D, ses fluctuations et états stationnaires. Ensuite, nous considérons la théorie de la turbulence d'onde, qui décrit la statistique des ondes faiblement non-linéaires. Nous calculons les grandes déviations associées dans le cas où l'interaction des ondes est locale et isotrope. Cela permet sa description par un cadre théorique général, adapté aux systèmes à deux lois de conservation, que nous formalisons par ailleurs. Dans ce cadre général, nous conduisons une étude détaillée des corrélations décrivant les fluctuations gaussiennes autour d'un état stationnaire hors équilibre. Nous montrons que les corrélations à longue portée ont au moins trois origines possibles: la présence d'un courant moyen, d'injection d'énergie par des sources externes déterministes, ou stochastiques. Une méthode numérique nouvelle permet leur calcul pour différentes conditions aux limites, dont nous montrons l'impact global sur la solution. Certains cas nécessitent d'imposer des conditions où le flux est fixé au bord, mais nous démontrons qu'alors les conditions aux limites pour l'équation sur les corrélations sont non triviales et singulières. Enfin, nous donnons un exemple d'instabilité en turbulence d'onde pouvant être expliquée par les grandes déviations et mise en évidence par la divergence de cette fonction de corrélation. Par ailleurs, du côté de l'étude des impacts des événements rares, il existe de nombreux champs d'application, notamment dans les systèmes énergétiques bas carbone. La variabilité météorologique affecte à la fois la production renouvelable et la demande, créant des déséquilibres. Dans une deuxième partie, nous évaluons l'impact des événements extrêmes sur le dimensionnement optimal d'un réseau électrique. Nous montrons notamment que, bien que le coût total soit peu affecté, la composition du mix et le besoin en capacités pilotables sont impactés de manière assez notable: les événements les plus courts et intenses sont dimensionnants pour la capacité totale pilotable, tandis que les pires événements prolongés sont critiques pour la part du mix permettant de fournir un important volume d'énergie pilotable. Ces résultats montrent l'importance de considérer des données incluant des événements suffisamment extrêmes, sans quoi le mix obtenu risque la défaillance.

Statistical mechanics for rare events in wave turbulence and for the energy system

Large-scale physical systems, composed of a very large number of constituents, are subject to physical modeling that describes these constituents, as well as to a statistical consideration of their dynamics. This combined approach is the essence of statistical physics. In the limit of infinite system size, the dynamics often becomes deterministic and is described by average quantities. However, for systems that are large but finite, the motion of the constituents gives rise to small stochastic fluctuations that correct these average evolutions. Analyzing these fluctuations is central to several contexts addressed in this thesis. On the one hand, in theoretical physics, they explain the intrinsic variability of systems and the dynamics of the rare events that result from them. These fluctuations can be the origin of instabilities and abrupt transitions between two so-called metastable states, as observed, for example, in geophysical fluid dynamics (causes). On the other hand, in a much more applied context, it is essential to identify extreme events and to evaluate their potentially very significant impacts (consequences). The primary objective of this thesis is to understand rare fluctuations for a wide range of non-equilibrium models. To do this, we use the theory of large deviations, which establishes asymptotic probability laws for the path followed by the system. The main new contributions are as follows. First, the theory of large deviations for certain kinetic theories is established. We begin with a point vortex model that describes in a simple way the 2D hydrodynamic turbulence, its fluctuations and stationary states. Next, we consider the theory of wave turbulence, which describes the statistics of weakly nonlinear waves. We calculate the associated large deviations in the case where the wave interaction is local and isotropic. This allows its description by a general theoretical framework, adapted to systems with two conservation laws, which we also formalize. Within this general framework, we conduct a detailed study of the correlations describing Gaussian fluctuations around a non-equilibrium steady state. We show that long-range correlations have at least three possible origins: the presence of a mean current, energy injection by deterministic external sources, or stochastic sources. We develop a new numerical method to compute these correlations, adapted to various boundary conditions. We also show that the choice of boundary conditions can have global consequences on the solution. Some cases require imposing a fixed flux at the boundary, but we demonstrate that in such cases, the boundary conditions for the correlation's equation are non-trivial and singular. Finally, we provide an example of instability in wave turbulence that can be explained by large deviations, and revealed by the divergence of this correlation function. Moreover, regarding the study of the impacts of rare events, there are many fields of application, particularly in low-carbon energy systems. The meteorological variability of renewable production constitutes a source of stress in meeting demand, which is also weather-dependent. In a second part, we evaluate the impact of extreme events on the optimal sizing of an electrical grid. We show in particular that, although the total cost is only slightly influenced, the composition of the electricity mix and the need for dispatchable capacities are notably affected: the shortest and most intense events are sizing factors for the total dispatchable capacity, while the worst prolonged events are critical for the part of the mix capable of delivering large volumes of dispatchable energy. These results show the importance of considering data that include sufficiently extreme events; otherwise, the resulting energy mix risks failure.