Plongements isométriques et conformes de surfaces dans des variétés lorentziennes

Résumé de la thèse

Cette thèse aborde des questions de flexibilité et de rigidité des plongements conformes et isométriques de surfaces dans des variétés semi-riemanniennes. La première partie concerne les plongements conformes de surfaces de Riemann fermées dans des variétés pseudo-riemanniennes de dimension trois ou plus. Les résultats classiques, à commencer par ceux de Garsia, ont établi que toute surface de Riemann admet un plongement lisse et conforme dans l'espace euclidien de dimension 3. Dans ce travail, on étend ces résultats au cadre pseudo-riemannien, montrant que la seule restriction est l'existence d'un plongement de type espace. Cependant, cette flexibilité disparaît lorsqu'on impose des contraintes de courbure : dans le cas de quotients du cône de temps de dimension 2+1 par un groupe fuchsien cocompact,  on montre que les structures conformes qui peuvent être réalisées par des métriques à courbure négative forment un ensemble relativement compact dans l'espace de Teichmüller. La seconde partie porte sur les plongements isométriques C^1 dans des espaces lorentziens. En généralisant le théorème de Nash–Kuiper, on montre que toute variété riemannienne compacte admettant un plongement de type espace long dans une variété pseudo-riemannienne peut être C^0-approchée par un plongement isométrique C^1. Dans les deux parties, on utilise des méthodes d'intégration convexe pour construire les plongements.

This thesis addresses questions of flexibility and rigidity of conformal and isometric embeddings of surfaces in semi-Riemannian manifolds.
The first part concerns conformal embeddings of closed Riemann surfaces in pseudo-Riemannian manifolds of dimension three or higher. Classical results, starting with those of Garsia, have established that any Riemann surface admits a smooth conformal embedding in 3-dimensional Euclidean space. In this work, we extend these results to the pseudo-Riemannian setting, showing that the only restriction is the existence of a spacelike embedding. However, this flexibility disappears when curvature constraints are imposed: in the case of quotients of the (2+1)-dimensional timelike cone by a cocompact Fuchsian group, we show that the conformal structures that can be realized by metrics with negative curvature form a relatively compact set in Teichmüller space.
The second part deals with C^1-isometric embeddings in Lorentzian spaces. By generalizing the Nash–Kuiper theorem, we show that any compact Riemannian manifold admitting a long spacelike embedding in a pseudo-Riemannian manifold can be C^0-approximated by a C^1-isometric embedding. In both parts, we use convex integration methods to construct the embeddings.