Quelques contributions à la géométrie brownienne

Résumé de la thèse

Cette thèse est une contribution à la géométrie aléatoire 2-dimensionnelle, et plus particulièrement à l'étude des modèles canoniques que sont les surfaces browniennes, qui apparaissent comme limites d'échelle de cartes aléatoires. On s'intéresse tout particulièrement à l'étude de points exceptionnels de ces surfaces, tels que les points appartenant à l'intérieur d'une géodésique. Dans un premier temps, on montre que la limite locale au voisinage d'un tel point, que l'on introduit sous le nom de plan brownien bigéodésique, existe et admet une construction explicite. Nous identifions de plus un certain nombre de propriétés remarquables de cet espace. Nous démontrons également que le plan brownien bigéodésique est la limite d'échelle de grandes quadrangulations aléatoires ré-enracinées sur de longs chemins géodésiques. Dans un second temps, on donne une nouvelle construction de la sphère brownienne, que l'on peut voir comme la brique élémentaire de la géométrie brownienne, à partir d'un objet que nous appelons l'unicycle brownien étiqueté. Cette construction a de multiples applications, comme par exemple l'étude de lieux géométriques tels que les cellules de Voronoï avec deux sources, ainsi qu'une construction alternative du plan brownien bigéodésique. Enfin, nous montrons que la sphère brownienne ne contient pas de carrefours géodésiques à trois branches ou plus, c'est-à-dire de points d'où partent trois chemins géodésiques distincts, tels que deux quelconques de ces chemins se raccordent en une autre géodésique.

This thesis is a contribution to two-dimensional random geometry, and more specifically to the study of canonical models known as Brownian surfaces, which arise as scaling limits of random maps. We are particularly interested in the study of exceptional points on these surfaces, such as points lying inside a geodesic. First, we show that the local limit in the neighborhood of such a point—which we introduce under the name of bigeodesic Brownian plane—exists and admits an explicit construction. We identify a number of remarkable properties of this space. We also demonstrate that the bigeodesic Brownian plane is the scaling limit of large random quadrangulations re-rooted on long geodesic paths. Next, we provide a new construction of the Brownian sphere—which can be viewed as the building block of Brownian geometry—based on an object we call the labeled Brownian unicycle. This construction has multiple applications, such as the study of geometric loci like Voronoi cells with two sources, as well as an alternative construction of the bigeodesic Brownian plane. Finally, we show that the Brownian sphere contains no geodesic hubs with three or more branches, that is, points from which three distinct geodesic paths depart, such that any two of these paths connect to form another geodesic.