Quelques résultats de factorialité pour des algèbres de von Neumann associées à des groupes localement compacts

Résumé de la thèse

Dans cette thèse, Basile MORANDO s'intéresse aux algèbres de von Neumann de groupes localement compacts ainsi qu'aux produits croisés obtenus lorsqu'un groupe localement compact agit continûment sur une algèbre de von Neumann. Il étudie en particulier la question suivante: quand est-ce que ces algèbres de von Neumann ont-elles un centre trivial? Le cas des groupes discrets étant déjà largement compris, il se concentre sur les groupes et actions de groupes non-discrets.

Dans un premier chapitre, il établit un nouveau critère quantitatif de factorialité pour les groupes totalement discontinus, qui généralise le critère « icc » des groupes discrets. Il en déduit que l'algèbre de von Neumann d'un groupe de Neretin est un facteur de type II, ce qui fournit une nouvelle démonstration du fait que les groupes de Neretin ne sont pas de type I. Il montre aussi comment les méthodes employées permettent d'obtenir la factorialité de certaines algèbres de groupes agissant sur des arbres, ou de coins de ces dernières.

Dans un deuxième temps, il démontre la factorialité de certains produits croisés par des groupes satisfaisant le critère de factorialité précédent. Cela s'applique par exemple au produit croisé obtenu via l'action d'un groupe de Neretin sur le bord de son arbre : le facteur obtenu est un facteur de type III.

Dans un second chapitre, il considère le produit croisé provenant d'une action d'un groupe localement compact G sur un facteur M. Une telle action est dite strictement extérieure si l'inclusion de M dans le produit croisé est irréductible, ce qui est une forme forte de factorialité. Lorsque le groupe G est discret, cette propriété est équivalente à l'extériorité de l'action de G, et Marrakchi et Vaes ont montré que cette équivalence persistait pour des actions de groupes localement compacts sur des facteurs pleins. On sait que cette équivalence n'est pas valable pour des facteurs génériques. Dans ce chapitre, Basile MORANDO considère des renforcements naturels de la notion d'extériorité : il montre que toute action « spectralement » extérieure sur un facteur quelconque est strictement extérieure. Lorsque le facteur M est semifini, cela implique que toute action « topologiquement » extérieure est strictement extérieure, ce qui répond à une question posée par Marrakchi et Vaes.

This thesis investigates von Neumann algebras of locally compact groups and crossed products arising from continuous actions of locally compact groups on von Neumann algebras. In particular, Basile MORANDO studies the following question: under what conditions do these von Neumann algebras have a trivial center? Since the case of discrete groups is already well understood, Basile MORANDO's attention is directed towards non-discrete groups and their actions.

In the first chapter, he establishes a new quantitative criterion of factoriality for totally disconnected groups that generalizes the “icc” criterion for discrete groups. From this, he deduces that the von Neumann algebra of a Neretin group is a type II factor, which provides a new proof that Neretin groups are not of type I. He also shows how the methods employed yield factoriality for certain von Neumann algebras associated to groups acting on trees, or for corners of these.

In a second step, he proves factoriality for certain crossed products by groups satisfying the aforementioned criterion. This applies, for example, to the crossed product coming from the action of a Neretin group on the boundary of its tree: the resulting algebra is a type III factor.

In the second chapter, he studies crossed products arising from actions of a locally compact group G on a factor M. Such an action is said to be strictly outer if the inclusion of M into the crossed product is irreducible, which is a strong form of factoriality. When the group G is discrete, this property is equivalent to the outerness of the action of G, and Marrakchi and Vaes showed that this equivalence persists for actions of locally compact groups on full factors. It is known that this equivalence fails for general factors. In this chapter, Basile MORANDO considers natural strengthenings of the notion of outerness: he proves that every “spectrally outer” action on an arbitrary factor is strictly outer. When the factor M is semifinite, this implies that every “topologically outer” action is strictly outer, thus answering a question posed by Marrakchi and Vaes.