Relations linéaires entre valeurs modulaires multiples associées à des séries d'Eisenstein

Résumé de la thèse

Dans cette thèse, Mista BOISAN étudie les valeurs modulaires multiples introduites par Manin et Brown, qui sont définies comme des intégrales itérées de formes modulaires. Elles généralisent les valeurs zêta multiples et les valeurs aux entiers de fonctions L associées à des formes modulaires. Mista BOISAN étudie plus particulièrement les valeurs modulaires multiples associées à des séries d'Eisenstein, qu'on appelle valeurs Eisenstein multiples. Tout d'abord, elle présente un programme en PARI-GP permettant de calculer ces valeurs Eisenstein multiples, en toute longueur, poids et niveau, qui lui permet de trouver expérimentalement des relations linéaires entre valeurs Eisenstein multiples dites « relations à trois termes ». Ensuite, elle démontre que ces relations permettent d'exprimer des combinaisons linéaires de valeurs Eisenstein doubles en fonction de polynômes de Bernoulli en les paramètres des séries d'Eisenstein. Elle démontre une formule explicite en poids 2, et elle donne des formules conjecturales en poids 3 et 4. Enfin, elle donne une preuve algébrique des relations à trois termes entre parties imaginaires de valeurs Eisenstein doubles en poids 2 en étudiant le régulateur de Beilinson associé au deuxième groupe de K-théorie de la courbe modulaire. Elle étudie aussi le régulateur entier défini par Beilinson, qui pourrait permettre de donner une preuve algébrique des relations à trois termes entre valeurs Eisenstein doubles en poids 2.

In this thesis, Mista BOISAN studies multiple modular values introduced by Manin and Brown, which are defined as iterated integrals of modular forms. They generalize multiple zeta values and special values of L-functions associated to modular forms. More particularly, she studies multiple modular values associated to Eisenstein series, that are called multiple Eisenstein values. First of all, she presents an algorithm using PARI-GP to calculate these multiple Eisenstein values, for any length, weight and level, which help her experimentally find linear relations between multiple Eisenstein values called “three-term relations”. Then, she proves that these relations express certain linear combinations of double Eisenstein values with Bernoulli polynomials in the parameters of the Eisenstein series. She finds an explicit formula in weight 2, and gives conjectural formulae in weights 3 and 4. Finally, she establishes an algebraic proof of the three-term relations between imaginary parts of double Eisenstein values in weight 2 by studying the Beilinson regulator associated to the second K-theory group of the modular curve. She also studies the integral regulator introduced by Beilinson that might be a way to establish an algebraic proof of the full three-term relations between double Eisenstein values in weight 2.