Transport des mesures gaussiennes le long du flot des équations dispersives

Résumé de la thèse

Cette thèse s'intéresse aux propriétés statistiques d'équations non-linéaires dispersives hors équilibre, en décrivant comment certaines configurations aléatoires du système à l'état initial évoluent au cours du temps. Cela se traduit mathématiquement par l'étude du transport de mesures gaussiennes le long du flot de l'équation, ou de manière équivalente, par l'étude des lois des solutions générées par des données initiales aléatoires gaussiennes. Dans le cas de l'équation de Schrödinger, nous montrons que l'évolution de ces mesures est quasi-invariante au cours du temps, signifiant qu'en tout temps le flot transforme ces mesures en des mesures absolument continues par rapport à elles. Puis, en étudiant de manière quantitative les dérivées de Radon-Nikodym subséquentes, nous serons capables d'obtenir en retour des informations quantitatives sur les solutions, en particulier dans des régimes de faible régularité où l'énergie est infinie. Dans une autre direction, nous étudions le modèle discret de l'équation de Schrödinger non-linéaire et démontrons que l'évolution des mesures gaussiennes est tout autre. Elles sont à chaque instant singulières par rapport à la mesure gaussienne initiale. Cette thèse constitue une contribution à la ligne de recherche initiée par Tzvetkov en 2015 sur l'étude du transport des mesures gaussiennes par le flot d'équations non-linéaires dispersives.

This thesis investigates the statistical properties of out-of-equilibrium nonlinear dispersive equations by describing how certain random configurations of the system at the initial state evolve over time. Mathematically, this is formulated as the study of the transport of Gaussian measures along the flow of the equation, or equivalently, as the study of the laws of solutions generated by Gaussian random initial data. In the case of the Schrödinger equation, we show that the evolution of these measures is quasi-invariant, meaning that at any time the flow transforms these measures into measures that are absolutely continuous with respect to the original ones. By quantitatively analyzing the corresponding Radon–Nikodym derivatives, we are then able to obtain quantitative information on the solutions, in particular in low-regularity regimes where the energy is infinite. In a different direction, we study a discrete model of the nonlinear Schrödinger equation and show that the evolution of Gaussian measures is of a completely different nature: at each time, they are singular with respect to the initial Gaussian measure. This thesis contributes to the research program initiated by Tzvetkov in 2015 on the study of the transport of Gaussian measures under the flow of nonlinear dispersive equations.