Ce cours propose une introduction rigoureuse aux fondements de la logique mathématique, depuis les bases syntaxiques et sémantiques jusqu'aux résultats majeurs de la crise des fondements du début du 20ème siècle, culminant avec les théorèmes d'incomplétude de Gödel.
À l'issue de ce cours, les étudiants.e devront être capables de :
Distinguer rigoureusement la syntaxe et la sémantique des systèmes logiques (calcul propositionnel et logique du premier ordre).
Manipuler les systèmes de preuve, en particulier la déduction naturelle, et comprendre les concepts de correction et de complétude.
Exploiter le théorème de compacité (en logique propositionnelle et du premier ordre) pour construire des modèles ou démontrer des propriétés de théories mathématiques.
Comprendre la portée et les limites des formalismes, à travers la formalisation de l'arithmétique de Peano et l'assimilation des démonstrations et des conséquences des deux théorèmes d'incomplétude de Gödel.
Manipuler les concepts fondamentaux de la théorie des ensembles (ZFC), notamment la construction des ordinaux et les formulations équivalentes de l'axiome du choix.
Selon le temps qu'il reste, nous pourrons traiter des applications (l’élimination des quantificateurs dans les corps réels clos, l’élimination des quantificateurs dans les corps algébriquement clos, le théorème d’Ax-Grothendieck)
