LOG – Logique (2ème semestre, 6 ECTS)

Cours : Natacha Portier

TD : Anupam Das & Ignacio Garcia Marco

Cours de Logique Mathématique, partant des bases de la logique jusqu’aux résultats majeurs du tournant des années 30 (dont les théorèmes d’incomplétude de Gödel).

Contenu indicatif du cours :

Théorie naïve des ensembles :

  •  Constructions en théorie des ensembles, théorème de Cantor-Bernstein.
  • Ordinaux, cardinaux, bonne fondation, hiérarchie de Veblen.
  • L’axiome du choix et ses différentes formes.

Théories du premier ordre :

  • Langages du premier ordre, système de déduction (déduction naturelle).
  • Notion de théorie du premier ordre, d’extension conservative.
  • Exemples: l’Arithmétique de Peano (PA) et la Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF).

Modèles de Tarski :

  • Structures, notions d’isomorphisme et d’équivalence élémentaire
  • Théorèmes de complétude, de compacité et de Löwenheim-Skolem.
  • Applications à PA et à ZF.

Théorèmes d’incomplétude :

  • Indécidabilité de l’arithmétique, lien avec les fonctions récursives,
  • Théorèmes d’incomplétude de Gödel.

Prérequis : pas de prérequis particulier si ce n’est une connaissance élémentaire des objets manipulés (ensembles, connecteurs/quantificateurs logiques, démonstrations usuelles en mathématiques).

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