Le module discutera de l'étude et de la modélisation des systèmes complexes à travers plusieurs variantes générales d'approches permettant leur analyse, leur description et leur modélisation :

1) Les approches par systèmes dynamiques, potentiellement multi-dimensionnels, linéaires ou non-linéaires, régis par des EDO ou des EDP (exemple : les processus épidémiologiques par des modèles compartimentaux, les modèles de dynamique des populations,...)

2) Les méthodes de description statistique de phénomènes, soit en temps que processus dynamiques tels que des marches aléatoires, les différents types de  diffusion, les processus de transmission d'information (gossip, consensus, percolation,...).

3) La théorie de l'information qui perlmet de quantifier l'innovation ou l'incertitude dans des mesures, des relations entre différentes observations, et ses liens avec la physique statistique

4) Les approches multi-agents des phénomènes complexes. 

L'objectif est de se familiariser sur les outils et modèles employés pour décrire des phénomènes complexes, et d'apprendre les méthodes formalisées pour cela. 

Après un historique du domaine, ce cours présentera des exemples de modèles simplifiés, des sociétés virtuelles faciles à analyser:

- Schelling et la ségrégation raciale;

- Modèles d'interaction sociale entre individus à la Ising;

- Modèles multi-agents: marchés immobiliers, trafic automobile, piétons.

Il présentera ensuite des exemples de traitements de données réelles, à l'aide d'outils récents comme les réseaux.

En conclusion, le cours aborde l'épistémologie des sciences sociales, la difficulté de leur modélisation, en introduisant la notion de capacité proposée par la philosophe britannique Nancy Cartwright.

• Molecular Dynamics Simulations for the exploration of emergent dynamic properties
  • TD: Integrating Newton’s equations of motion for continuous potentials: The secret behind the Verlet algorithm
  • Liouville formulation of symplectic and multiple-timestep integrators
  • Langevin dynamics
  • Thermodynamic averages, fluctuations and transformations between ensembles
  • Linear response and Green-Kubo relations for transport coefficients
  • TD: MD simulations of Lennard-Jones liquids
  • Non-equilibrium Molecular Dynamics
•  Monte Carlo Simulations for the exploration of emergent static properties
  • Exact enumeration of small systems: Reweighting and the exact evaluation of partition functions
  • Monte Carlo simulations
    • Simple Sampling: Statistical errors and the limits of reweighting
    • Importance Sampling: The Metropolis algorithm; Statistical errors, dynamical correlations and the power of well-designed trial moves: Glauber vs. Kawasaki vs Cluster moves for spin systems; Simulating polymers; Quenched disorder: spin glasses; Other ensembles.
    • TD: Monte Carlo simulations of the Ising model
• Free energies
  • Widom insertion and thermodynamic integration
    • TD: free energy of a methane molecule in water from TI (L. Monticelli)
  • Advanced techniques:
    • TD: The density of states of the Ising model from Multihistogram analysis/WHAM
    • TD: Protein binding energies from Umbrella Sampling and Steered Molecular Dynamics (L. Monticelli)
• Exploring Rare events
  • (sampling) transition states and paths
  • Kinetic Monte Carlo

1) Introduction to the complexity of the quantum many-body problem (1h);

2) Exact diagonalization and its limitations (3h);

3) Variational approaches; the Monte Carlo method, and variational Monte Carlo for physics and chemistry (4h);

4) Improving on the variational approach: diffusion Monte Carlo, fixed-node approximation for strongly interacting fermions (4h); 

5) Density-matrix approaches and tensor-network Ansätze for lattice quantum systems and beyond (4h);

6) Path-integral Monte Carlo methods for systems in continuous space: applications to quantum fluids and solids (4h); 

7) Path-integral Monte Carlo methods (and variants) for systems on lattice: applications to condensed matter, statistical physics, etc. (4h). 

The TD sessions will be hands-on, aimed at programming simple instances of some of the methods presented in the course. 

Ce cours utilise une pédagogie par projet. Il s'agira de mener un projet de modélisation en géophysique interne ou planétologie afin de répondre à une question scientifique. Le projet est construit de A à Z par l'étudiant avec l'équipe pédagogique en soutien. La première séance fixe le cadre organisationnel et scientifique avec quelques bases et les enseignants proposent quelques idées de projets. Les séances qui suivront serviront à accompagner les étudiants dans l'avancée de leur projet, que ce soit sur les concepts, les expériences/calculs ou l'acquisition d'outils techniques. L’UE est évaluée par un rapport et une soutenance début janvier. L’accent est mis sur la démarche scientifique plutôt que sur les résultats, forcément limités sur une courte durée.