Cette thèse vise à développer des techniques pour extraire le comportement à grand N d’intégrales multiples N-uples à grand N. Ces intégrales multiples apparaissent comme des représentations intégrales de fonctions spéciales. Avoir des outils puissants pour extraire des informations de ces expressions, telles que la régularité, les comportements asymptotiques ou les valeurs exactes pour des valeurs de paramètres spécifiques, est crucial. Ensuite, les intégrales multiples apparaissent dans des modèles intégrables, tels que la fonction de partition des systèmes à plusieurs particules dans le cadre classique ou comme blocs de construction des fonctions de corrélation dans un cadre quantique.
Les techniques de la théorie des grandes déviations, les problèmes de Riemann-Hilbert et les méthodes basées sur le transport forment l'arsenal de base pour accéder à leur comportement asymptotique. Actuellement, un des cas le plus compliqué dans la littérature existante qui peut être traité de manière assez générale est la fonction de partition des beta-ensembles, qui peut être vue comme la loi du spectre de certains modèles de matrices aléatoires. Cependant, il y a un intérêt à explorer la généralisation de ce modèle, et c'est le sujet principal de cette thèse.
Cette thèse se concentre sur deux modèles qui vont au-delà des beta-ensembles classiques. Le premier modèle concerne les beta-ensembles mais à haute température lorsque N beta est constant. La différence majeure par rapport au cas beta constant est qu'il faut tenir compte des effets entropiques dus à la haute température. Le deuxième modèle d'intérêt est le soi-disant modèle sinh. Ce modèle implique un déterminant de Vandermonde hyperbolique, ce qui rend certaines propriétés pratiques des beta-ensembles habituels, inaccessibles. De plus, pour des applications intéressantes en physique, il est nécessaire d’utiliser des potentiels N-dépendants, ce qui requiert une analyse plus sophistiquée.
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