De la gravité quantique aux théories des champs sur espaces-temps quantiques

Résumé de la thèse

La géométrie non commutative est un cadre mathématique rigoureux permettant de modéliser une notion d’espace-temps quantique à l’aide d’algèbres d’opérateurs. Une théorie unifiant la mécanique quantique et la relativité générale est nécessaire, car notre compréhension actuelle de la physique échoue à l’échelle dite de Planck. Puisque la gravité est décrite, en relativité générale, par la dynamique d’un espace-temps courbe et doit être quantifiée comme une grandeur dynamique en mécanique quantique, une théorie de l’espace-temps quantique devrait conduire à des effets de gravité quantique, du moins dans certains régimes spécifiques.

Les constructions d’espaces-temps non commutatifs ou quantiques reposent sur une « quantification déformée », qui permet de les exprimer en termes d’algèbres non commutatives. Les exemples physiquement intéressants sont construits à partir de déformations de la symétrie de Poincaré usuelle, désormais encodées dans des structures mathématiques appelées « groupes quantiques » ou « algèbres de Hopf ». Par dualité avec le secteur translationnel de l’algèbre de symétrie de Poincaré quantique, on peut dériver un espace-temps de Minkowski non commutatif associé.

Cette thèse se concentre sur l’étude d’une paire d’objets quantiques : un espace-temps de Minkowski déformé modélisé par une algèbre non commutative, sur lequel agit une algèbre de symétrie de Poincaré quantique exprimée en termes d’algèbres de Hopf. Les déformations sont caractérisées par un paramètre de déformation, généralement noté par une lettre grecque, proportionnel à la longueur de Planck, c’est-à-dire la longueur à laquelle les effets de gravité quantique devraient apparaître. En particulier, la phénoménologie de tels espaces-temps et symétries quantiques est actuellement un sujet très actif, car elle fournit par exemple une réalisation de la relativité doublement spéciale et conduit à la possibilité de localité relative.

Une autre partie de cette thèse est consacrée à l’étude des théories quantiques des champs scalaires et de jauge fondées sur des espaces-temps non commutatifs. Tout d’abord, on peut montrer que la gravité quantique à boucles en trois dimensions, couplée à la matière, peut, après intégration des degrés de liberté gravitationnels, donner lieu à une théorie effective des champs non commutative. L’unitarité de cette théorie scalaire non commutative est étudiée à une boucle, ce qui conduit à un résultat intéressant : elle impose des contraintes sur le propagateur de la théorie.

Ensuite, les théories de jauge sur des espaces-temps non commutatifs sont examinées. Une construction explicite d’une théorie de jauge non commutative U(1) est présentée et ouvre la voie à des travaux futurs, notamment sur la question des fluctuations du vide et de la nullité de la fonction « tadpole », qui demeure un problème ouvert en géométrie non commutative.

From quantum gravity to field theories on quantum space-times

Noncommutative geometry is a mathematically rigorous framework for modeling a notion of quantum space-time via operator algebras. A theory that unifies quantum theory and general relativity is needed, as our current understanding of physics breaks down at the so-called Planck scale. As gravity is encoded in the dynamics of curved spacetime by general relativity and must be quantized as a dynamical quantity in quantum mechanics, a theory of quantum spacetime should lead to quantum gravity effects, at least in some specific regime. 

Constructions of noncommutative or quantum spacetimes rely on "deformed quantization," which allows them to be expressed in terms of noncommutative algebras. Physically interesting ones are built from deformations of the usual Poincaré symmetry, which are now encoded in mathematical structures called "quantum groups" or "Hopf algebras".  By duality with the translational sector of the quantum Poincaré symmetry algebra, one can derive an associated Minkowski noncommutative spacetime.

This thesis focuses on the study of a pair of quantum objects: a deformed Minkowski spacetime modelised by a noncommutative algebra, on which acts a quantum Poincaré symmetry algebra expressed in terms of Hopf algebras. Deformations are characterized by a deformation parameter, usually denoted by a Greek letter, proportional to the Planck length, i;e. the length at which quantum gravity should appear. In particular, the phenomenology of such quantum spacetimes and symmetries is currently a hot topic, as it provides, for instance, a realization of Doubly Special Relativity and leads to the possibility of Relative Locality.

Another part of this thesis focuses on the investigation of scalar and gauge quantum field theories based on noncommutative spacetimes. First of all, it can be shown that 3d Loop quantum gravity coupled to matter can, after integrating out the gravitational degree of freedom, give rise to an effective noncommutative field theory. The unitarity of this noncommutative scalar field theory is studied at one loop, yielding an interesting result: it imposes constraints on the theory's propagator.

Secondly, gauge theories on noncommutative spacetimes are investigated. An explicit construction of U(1) noncommutative gauge theory is given and opens the door to future work, in particular, concerning the question of vacuum fluctuation and zero tadpole function, which is still an open problem in noncommutative geometry.