Modélisation stochastique spatio-temporelle de la turbulence : une structure gaussienne sous-jacente et ses propriétés lagrangiennes

Résumé de la thèse

Nous développons, simulons et étendons une proposition initiale de Chaves et al. d’un champ vectoriel aléatoire incompressible capable de reproduire les caractéristiques spatio-temporelles clés de la turbulence 3D. Dans ce travail, nous nous concentrons sur l'important cadre gaussien sous-jacent. La structure spatiale d’un tel champ de vitesse est statistiquement compatible avec un champ vectoriel gaussien fractionnaire à divergence nulle qui encode toutes les propriétés connues de la turbulence des fluides homogènes et isotropes à un nombre de Reynolds fini donné, jusqu'aux statistiques d'ordre deux. La structure temporelle du modèle est, quant à elle, introduite par une évolution stochastique des modes de Fourier respectifs. Dans le cas le plus simple, les modes de Fourier évoluent selon un processus d'Ornstein-Uhlenbeck, où l'échelle de temps caractéristique dépend de l'amplitude du vecteur d'onde. Pour assurer la cohérence avec les simulations numériques directes (DNS) des équations de Navier-Stokes, cette échelle de temps est inversement proportionnelle à l'amplitude du vecteur d'onde. En conséquence, la vitesse caractéristique qui régit les tourbillons est indépendante de leur taille et est liée à l'écart-type de la vitesse, ce qui concorde avec certaines caractéristiques de ce qu'on appelle l'effet de sweeping. Afin de garantir la différentiabilité dans le temps tout en respectant la nature markovienne de l'évolution, nous utilisons la méthodologie développée par Viggiano et al. pour proposer une représentation stochastique pleinement cohérente. Les prédictions exactes et les estimations numériques du modèle sont comparées aux données DNS fournies par la base de données de Johns Hopkins.

Une autre partie de ce travail consiste à étudier les trajectoires lagrangiennes advectées par le champ eulérien susmentionné. Nous construisons d’abord un modèle eulérien 2D dont les statistiques d’ordre deux sont pratiquement identiques à celles du modèle 3D précédent. Nous intégrons ensuite numériquement l’équation de flot afin d’obtenir les trajectoires des traceurs entraînés par le champ eulérien et d’analyser leur comportement statistique. Plus précisément, nous examinons un ensemble de trajectoires afin de caractériser les propriétés statistiques des trajectoires lagrangiennes. L'étude des fonctions de densité de probabilité des incréments de vitesse lagrangiens obtenus révèle un résultat clé : l'intermittence de ces derniers, même dans un cadre eulérien gaussien, déjà observée par Reneuve et al.  Nous comparons enfin ces résultats et leurs échelles de temps caractéristiques aux expériences menées par Wang et al.

Outre les travaux menés dans le cadre de ce doctorat, nous poursuivons avec J. Vanneste les recherches que nous avons entamées lors d'un stage de master à l'Université d'Édimbourg. Dans le cadre d'une étude complémentaire à l'analyse précédente des trajectoires lagrangiennes dans un cadre statistiquement homogène, isotrope, stationnaire et périodique, nous concentrons nos travaux sur l'étude du transport neutre dans l'océan et de la géométrie qui y est associée. La question qui a motivé ce travail était d’estimer la distance parcourue par une particule neutre pour atteindre la surface de l’océan. L’océan étant fortement stratifié, la vitesse d’une particule en flottabilité neutre par rapport à son environnement est contrainte d’être orthogonale à un vecteur dianeutre et donc tangente aux plans neutres. Nous étudions donc les propriétés géométriques de l’ensemble des plans neutres calculés à l’aide de la base de données WOCE et avons constaté qu’elles correspondent à celles d’une variété sous-Riemannienne, de sorte que sa distance intrinsèque est la métrique de Carnot-Carathéodory. Nous donnons un aperçu de l’anisotropie du transport océanique en étudiant les mouvements browniens localement neutres et en comparant la diffusion dianeutre à la diffusion neutre. 

Spatio-Temporal Stochastic Modelling of Turbulence: An Underlying Gaussian Structure and Its Lagrangian Properties.

We develop, simulate and extend an initial proposition by Chaves et al. concerning a random incompressible vector field able to reproduce key ingredients of three-dimensional turbulence in both space and time. In this work we focus on the important underlying Gaussian framework.
Presently, the statistical spatial structure of this velocity field is consistent with a divergence-free fractional Gaussian vector field that encodes all known properties of homogeneous and isotropic fluid turbulence at a given finite Reynolds number, up to second-order statistics. The temporal structure of the velocity field is introduced through a stochastic evolution of the respective Fourier modes. In the simplest picture, Fourier modes evolve according to an Ornstein–Uhlenbeck process, where the characteristic time scale depends on the wave-vector amplitude. For consistency with direct numerical simulations (DNS) of the Navier–Stokes equations, this time scale is inversely proportional to the wave-vector amplitude. As a consequence, the characteristic velocity that governs the eddies is independent of their size and is related to the velocity standard deviation, which is consistent with some features of the so-called sweeping effect. To ensure differentiability in time while respecting the Markovian nature of the evolution, we use the methodology developed by Viggiano et al. to propose a fully consistent stochastic picture. Both exact predictions and numerical estimations of the model are compared with DNS provided by the Johns Hopkins database .

Another part of this work is to study Lagrangian trajectories advected by the aforementioned Eulerian field. Firstly, we construct a two-dimensional Eulerian model with almost identical second order statistics as the previous three-dimensional model. We then numerically integrate the flow equation to obtain trajectories of tracers advected by the Eulerian field and analyse their statistical behaviour. Specifically, we examine a set of trajectories to characterise the properties of single-particle motion by determining their acceleration and velocity increments statistics. A key result by studying the probability density functions of the resulting Lagrangian velocity increments is the intermittency of this latter, even in a Gaussian Eulerian framework, as previously observed by Reneuve et al. We eventually compare these results and their associated characteristic time scales to experimental data obtained from the experiments conducted by Wang et al .

In addition to the work carried out as part of this PhD thesis, we pursue with J. Vanneste the research work we began during a Master’s internship at the University of Edinburgh. In a complementary study to the previous analysis of Lagrangian trajectories in a statistically homoge-neous, isotropic, stationary and periodic framework, we focus our work on the study of neutral transport in the ocean and its associated geometry. The questioning that prompted this work was to estimate the distance travelled by a neutral particle to reach the ocean’s surface. The ocean being strongly stratified, a parcel’s velocity neutrally buoyant to its surrounding is constrained to be orthogonal to a dianeutral vector, and hence tangent to neutral planes. We therefore study the geometrical properties of the set of neutral planes computed with the help of the WOCE database, and found that it corresponds to that of a sub-Riemannian manifold, such that its intrinsic distance is the metric of Carnot-Carathéodory. We give an insight of the ocean transport anisotropy by studying locally neutral Brownian motions and comparing the dianeutral to the neutral diffusion.