Sur les fonctions de corrélation des théories quantiques intégrables des champs à 1+1 dimensions

Résumé de la thèse

Les théories quantiques des champs sont des modèles physiques permettant une description pertinente et très précise de nombreux systèmes quantiques lorsque les effets relativistes commencent à entrer en jeu. 

Les fonctions de corrélation, objets d'intérêt physique majeur car directement mesurables expérimentalement, peuvent y être calculées de façon perturbative par développements formels, du moins dans le cas de théories avec faibles interactions. En revanche, dans une théorie générique en plein régime d'interaction, un calcul explicite et non-perturbatif de ces fonctions reste hors de portée à ce jour. Dans cette thèse, nous nous intéressons à une classe particulière de théories quantiques des champs en 1+1 dimensions et qui sont intégrables.  Pour celles-ci, il existe un nombre infini de charges conservées et une algèbre de symétries permettant ainsi, du moins en principe, d'avoir accès à des formules explicites pour toutes les grandeurs d'intérêt du modèle, en particulier les fonctions de corrélation. 

Afin de pouvoir obtenir ces expressions, les travaux de Karowski-Weisz, Kirillov-Smirnov ainsi que Zamolodchikov-Zamolodchikov, ont permis l'élaboration de l'approche du bootstrap intégrable. Cette méthode, applicable à une théorie quantique des champs 1+1 dimensionnelle et intégrable, prend ses racines dans l'approche historique de la matrice de diffusion (matrice S) proposée par Heisenberg et Wheeler.  Elle ouvre la voie au calcul explicite des fonctions de corrélation du modèle à partir de l'expression explicite de la matrice S. Les résultats obtenus jusqu'alors concernent exclusivement les fonctions de corrélation à 2 points. 

Dans cette thèse, nous obtenons divers types de représentations en terme de séries d'intégrales multiples pour les fonctions de corrélation multipoints du modèle de Sinh-Gordon, qui est le modèle intégrable le plus simple non-trivial de théorie quantique des champs en 1+1 dimensions. 

Sous l'hypothèse que ces séries d'intégrales multiples convergent, nous avons démontré que celles-ci définissent des distributions tempérées satisfaisant les axiomes de Wightman. Ce résultat connecte donc l'approche du bootstrap intégrable au schéma usuel de la construction rigoureuse d'une théorie quantique des champs. 

Cette thèse explore aussi l'implémentation du bootstrap intégrable pour certains corrélateurs du modèle de Sine-Gordon. Ce modèle exhibe une structure bien plus complexe en raison de la présence d'états liés, les breathers, et de degrés de liberté ayant des saveurs, les solitons/antisolitons. 

Pour ce modèle, nous avons pu calculer par la méthode de l'ansatz de Bethe off-shell les expressions explicites pour les facteurs de forme associés aux opérateurs « exponentielle du champ » et à ses variantes ne préservant pas la charge. Nos résultats sont en accord avec diverses conjectures obtenues précédemment par Lukyanov dans le cadre de la quantification angulaire. Nous rappelons ici que les facteurs de formes constituent les briques élémentaires permettant de calculer les fonctions de corrélation.

On correlation functions of the 1+1 dimensional integrable quantum field theories 

Quantum field theories are physical models that provide a relevant and highly accurate description of many quantum systems when relativistic effects begin to come into play. 

Correlation functions, which are of major physical interest from being directly measured experimentally, can be calculated perturbatively using formal expansions, at least in the case of theories with weak interactions. However, in a generic theory at full interaction strength, an explicit, non-perturbative calculation of these functions remains out of reach to this day. In this thesis, we focus on a particular class of 1+1-dimensional quantum field theories that are integrable.  For these theories, there exists an infinite number of conserved charges and a symmetry algebra, thereby allowing, at least in principle, access to explicit formulas for all quantities of interest in the model, in particular the correlation functions. 

To obtain these expressions, the works of Karowski-Weisz, Kirillov-Smirnov, and Zamolodchikov-Zamolodchikov led to the development of the integrable bootstrap approach. This method, applicable to a 1+1-dimensional integrable quantum field theory, has its roots in the historical scattering matrix (S-matrix) approach proposed by Heisenberg and Wheeler. It paves the way for the explicit calculation of the model’s correlation functions from the explicit expression of the S-matrix. The results obtained to date concern exclusively 2-point correlation functions. 

In this thesis, we obtain various types of representations in terms of series of multiple integrals for the multipoint correlation functions of the Sinh-Gordon model, which is the simplest non-trivial integrable model in 1+1-dimensional quantum field theory. 

Under the assumption that these series of multiple integrals converge, we have shown that they define tempered distributions satisfying Wightman’s axioms. This result thus connects the integrable bootstrap approach to the standard framework for the rigorous construction of a quantum field theory. 

This thesis also explores the implementation of the integrable bootstrap for certain correlators of the Sine-Gordon model. This model exhibits a much more complex structure due to the presence of bound states, known as breathers, and additional degrees of freedom, known as solitons and antisolitons. 

For this model, we were able to calculate, using the off-shell Bethe ansatz method, the explicit expressions for the form factors associated with the “field exponential” operator and its charge-non-conserving variants. Our results are consistent with various conjectures previously obtained by Lukyanov in the context of angular quantization. We note here that the form factors constitute the building blocks for calculating correlation functions.