Un fluide viscoplastique se comporte comme un solide rigide lorsque la norme du tenseur des contraintes est faible, puis comme un fluide visqueux lorsqu’elle dépasse un certain seuil. Les modèles mathématiques correspondants sont non-différentiables et laissent le tenseur des contraintes indéterminé dans les zones rigides.
On dégage deux classes de stratégies de résolution numérique : modifier la loi de comportement pour régulariser les équations, ou utiliser leur formulation variationnelle afin de se ramener à un problème de minimisation non-lisse. Dans cette thèse, on utilise la seconde approche et on compare différentes méthodes d’optimisation. On confronte d’abord la méthode du Lagrangien augmenté aux méthodes proximales de type FISTA, avec une discrétisation différences finies. On décrit alors le compromis entre vitesse et stabilité, au travers d’écoulements dans une géométrie de type expansion-contraction, exhibant des zones rigides de topologie complexe. On traite ensuite d’une méthode de point intérieur pour laquelle on décrit les calculs et la formulation complète dans le cas du modèle Herschel-Bulkley,
ainsi que les difficultés pratiques liées à cette méthode.
Pour finir, on s’intéresse à un modèle de lubrification viscoplastique dans une cavité fermée pour lequel les équations sont simplifiées. On introduit alors un métamodèle combinant polynômes de chaos et réduction de dimension afin de résoudre l’EDP plus rapidement. La méthode est illustrée sur l’estimation de paramètres à partir de données synthétiques et d’expériences physiques. Le code et les données permettant de reproduire et d’adapter la méthode sont mis librement à disposition des praticiens.
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