Agenda de l'ENS de Lyon

Ce doctorat se situe au croisement de la théorie des matrices aléatoires et des probabilités libres. La connexion entre ces deux domaines des mathématiques remonte au début des années 1990 avec les travaux de Voiculescu. Il inventa la théorie des probabilités libres, une théorie de probabilités pour des variables non commutatives où la notion de liberté remplace celle d’indépendance dans la théorie classique des probabilités. Ce lien entre ces deux domaines a depuis donné lieu à de nombreux résultats.

Dans le premier article écrit pendant cette thèse, nous calculons grâce à de nouvelles méthodes une estimée de la trace non renormalisée de certaines fonctions lisses évaluées en des matrices du GUE indépendantes. Nous en déduisons une nouvelle preuve d’un résultat important de Haagerup et Thorbjørnsen : la convergence de la norme d’un polynôme évalué en des matrices du GUE indépendantes. Dans le deuxième article nous démontrons des résultats similaires mais pour des matrices unitaires de Haar au lieu des matrices du GUE. Bien que certains de ces résultats aient déjà été démontrés par Collins et Male, cette nouvelle méthode à l’avantage de donner des estimées quantitatives. Dans le troisième article, nous avons amélioré la méthode utilisée dans le premier article pour prouver un développement limité de la trace de certaines fonctions lisses évaluées en des matrices du GUE. Nous en déduisons plusieurs corollaires sur le spectre local d’un polynôme en des matrices du GUE indépendantes. Dans le quatrième article, nous utilisons les résultats obtenus dans le deuxième pour en déduire des estimées de concentration de la mesure d’un ensemble aléatoire. Nous en déduisons des paramètres explicites sur la taille des solutions d’un problème important en théorie de l’information quantique. Finalement dans le dernier article, nous élargissons un résultat important de Voiculescu de convergence en loi de la mesure empirique d’un polynôme non commutatif évalué en des matrices du GUE indépendantes à l’ensemble des expressions rationnelles.