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PANHALEUX - Contributions à l'arithmétique flottante : codage et arrondi correct de fonctions algébriques

Soutenance de thèse

Mercredi 27 juin 2012
14h00
PANHALEUX Adrien

Intervenant(s)

PANHALEUX Adrien

Description générale

Une arithmétique sûre et efficace est un élément clé pour exécuter des calculs rapides et sûrs. Le choix du système numérique et des algorithmes arithmétiques est important. Nous présentons une nouvelle représentation des nombres, les "RN-codes", telle que tronquer un RN-code à une précision donnée est équivalent à l'arrondir au plus près. Nous donnons des algorithmes arithmétiques pour manipuler ces RN-codes et introduisons le concept de "RN-code en virgule flottante."

Lors de l'implantation d'une fonction f en arithmétique flottante, si l'on veut toujours donner le nombre flottant le plus proche de f(x), il faut déterminer si f(x) est au-dessus ou en-dessous du plus proche "midpoint", un "midpoint" étant le milieu de deux nombres flottants consécutifs. Pour ce faire, le calcul est d'abord fait avec une certaine précision, et si cela ne suffit pas, le calcul est recommencé avec une précision de plus en plus grande. Ce processus ne s'arrête pas si f(x) est un midpoint. Étant donné une fonction algébrique f, soit nous montrons qu'il n'y a pas de nombres flottants x tel que f(x) est un midpoint, soit nous les caractérisons ou les énumérons.

Depuis le PowerPC d'IBM, la division en binaire a été fréquemment implantée à l'aide de variantes de l'itération de Newton-Raphson dues à Peter Markstein. Cette itération est très rapide, mais il faut y apporter beaucoup de soin si l'on veut obtenir le nombre flottant le plus proche du quotient exact. Nous étudions comment fusionner efficacement les itérations de Markstein avec les itérations de Goldschmidt, plus rapides mais moins précises. Nous examinons également si ces itérations peuvent être utilisées pour l'arithmétique flottante décimale. Nous fournissons des bornes d'erreurs sûres et précises pour ces algorithmes.

Complément

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