Topologie des ondes pour l'astérosismologie

Résumé de la thèse

L’objectif général de cette thèse a été de diriger la lumière de la topologie des ondes vers une sélection de problèmes ondulatoires en milieux astrophysiques fluides — une approche encore inexplorée jusqu’à présent. Deux grandes questions ont guidé ce travail. La première consistait à déterminer si certaines ondes, dans certains milieux astrophysiques, sont soumises à des contraintes topologiques sous-jacentes. Ces ondes seraient alors dites topologiquement non triviales, au sens défini et discuté au Chapitre II.

Les travaux présentés ici portent principalement sur les ondes se propageant dans les intérieurs planétaires et stellaires, dont la grande diversité de structures, de dynamiques et de processus thermodynamiques en fait un terrain fertile pour l’émergence de propriétés topologiques. La seconde question fondamentale était de comprendre ce que l’on peut apprendre sur les ondes — et sur les objets dans lesquels elles se propagent — à partir de leurs propriétés topologiques. En d’autres termes : que peut-on prédire du fait qu’une onde est topologiquement non triviale ?

Les outils de la topologie permettent d’imposer des contraintes sur la localisation spatiale des modes, leur robustesse face aux perturbations, et parfois sur leur sens de propagation, notamment dans le cas de modes unidirectionnels, dits modes topologiques. Lorsqu’ils sont identifiés, ces modes possèdent des propriétés uniques qui peuvent être mises à profit pour mieux comprendre certaines phénoménologies propres aux objets astrophysiques qui les hébergent. Par exemple, les modes topologiques identifiés par Delplace, Marston et Venaille en 2017 sont connus pour se propager uniquement vers l’ouest dans l’océan équatorial. Cette impossibilité de propagation vers l’est est liée au phénomène El Niño — cette vague de chaleur partant de l’Asie vers les Amériques. La topologie des ondes fournit un cadre pertinent pour analyser si des ondes peuvent soutenir un tel comportement unidirectionnel.

Les ondes en milieux astrophysiques sont étudiées depuis longtemps, car elles constituent à la fois un outil d’observation indirecte des corps célestes (comme les étoiles et les planètes), et un acteur essentiel de leur dynamique. Les instabilités linéaires, le transport d’énergie et de moment angulaire influencent la formation et l’évolution des étoiles, des disques d’accrétion et protoplanétaires, des galaxies, des planètes et de leurs atmosphères. Chaque communauté travaillant sur ces objets étudie également les ondes qui s’y propagent. La topologie des ondes, en tant que méthode d’analyse nouvelle et complémentaire, reste encore peu exploitée dans ce contexte. Développer cette approche ouvre ainsi la voie à une meilleure compréhension de nombreux phénomènes astrophysiques.

L’organisation des chapitres de ce manuscrit ne suit pas la chronologie des travaux effectués au cours de cette thèse, mais a été pensée pour proposer une progression dans la complexité de l’analyse topologique. Le Chapitre III introduit un problème d’ondes inertielles avec un seul monopôle, où un flux spectral clair est observé. Le Chapitre IV traite de la dynamique de trois monopôles susceptibles de fusionner, avec la possibilité d'une disparition du flux spectral. Le Chapitre V explore les ondes dans les intérieurs stellaires, mettant en évidence le rôle de la géométrie sphérique et la présence de deux monopôles de charges opposées. Le Chapitre VI se penche sur ces ondes à travers une simulation hydrodynamique de l’intérieur solaire, où les modes topologiques apparaissent relativement délocalisés — un comportement peu commun dans la littérature en physique topologique. Le Chapitre VII approfondit également l’étude de l’intérieur solaire, en soulignant cette fois l’importance de la phase de Berry associée aux modes acoustiques. Enfin, les Chapitres VIII et IX abordent les instabilités linéaires sous l’angle de la topologie non hermitienne et du rôle des symétries discrètes.

Wave topology for asteroseismology

The general goal of this thesis has been to point the light of wave topology towards a number of selected wave problems in astrophysical fluids, a line of research which had not been pursued before, and there were two questions. The first was to identify whether indeed, some waves in some astrophysical fluids were submitted to underlying topological constraints. These waves would then be said to be topologically non-trivial, in the sense defined and discussed in Chapter II.

The works presented in this thesis are focused on waves in planetary and stellar interiors, whose great variety of structure, dynamical and thermodynamical processes are known to make rich wave problems, possibly favorable for topological properties. The second general question has been to establish what could be learned about waves and the objects in which they propagate from their topological properties. In other words, what can be predicted from the fact that such waves are topologically non-trivial?

Tools from topology allow to establish constraints on the spatial localization, the robustness to perturbations, and sometimes on the unidirectionality of certain modes, the topological modes. If they are identified, the unique properties of these modes can be harnessed for an understanding of a particular phenomenology of the objects where they would be found. For instance, the topological modes identified by Delplace, Marston and Venaille in 2017, are known to propagate in the ocean at the equator, only towards the West. They cannot propagate eastward, and this property is implicated in the El Niño phenomenon, this heat wave from Asia to the Americas. Wave topology provides a way of analyzing whether the waves could support such a unidirectional phenomenon.

Waves in astrophysical fluids have long been studied, as they are an excellent way of probing stellar bodies like stars and planets, but also because they play crucial dynamical roles. Linear instabilities, transport of energy and angular momentum shape stars, accretion and protoplanetary discs, galaxies, planets and atmospheres. Every community studying these objects studies the waves propagating in them. As wave topology is a new, complementary technique of analysis yet to be exploited, to develop this technique serves to advance our understanding of a number of phenomena in all these astrophysical objects.

The order of the chapters of this manuscript does not reflect the chronology of the works of this thesis. Instead, the choice was made to present a synthesis with an increasing level of complexity of the topological analysis. Indeed, Chapter III is a problem of inertial waves with one monopole, and a clear spectral flow is identified. Chapter IV discusses three monopoles that may collide, and a spectral flow which may disappear. Chapter V studies waves in stellar interiors, showing the role of spherical geometry and the presence of two monopoles of opposite charges. Chapter VI studies these waves in a hydrodynamical simulation of the solar interior, and finds that the topological waves are rather delocalized, which in uncommon in the topological physics literature. Chapter VII also discusses the solar interior, exhibiting the importance of the Berry phase of acoustic modes. Chapters VIII and IX discuss linear instabilities from the point of view of non-Hermitian topology and the role of discrete symmetries.