La recherche menée dans cette thèse a pour but de développer une analyse harmonique pour des fonctions définies sur les sommets d'un graphe dirigé. À l'ère du déluge de données, de nombreuses données sont sous forme de graphes et de données sur ce graphe. Afin d'exploiter de telles données, nous avons besoin de développer des méthodes mathématiques et numériquement efficientes. Ce développement a conduit à l'émergence d'un nouveau cadre théorique appelé le traitement de signal sur graphe dont le but est d'étendre les concepts fondamentaux du traitement de signal classique aux graphes.
Inspirées par l'aspect multi échelle des graphes, de nombreuses constructions multi-echelles ont été proposées. Néanmoins, elles s'appliquent uniquement dans le cadre non dirigé. L'extension d'une analyse harmonique sur graphe dirigé bien que naturelle, s'avère complexe. Nous proposons donc une analyse harmonique en utilisant l'opérateur de marche aléatoire comme point de départ de notre cadre. Premièrement, nous proposons une base de type Fourier formée des vecteurs propres de l'opérateur de marche aléatoire.
De cette base de Fourier, nous en déterminons une notion fréquentielle en analysant la variation de ses vecteurs propres. La détermination d'une analyse fréquentielle de la base des vecteurs de l'opérateur de marche aléatoire nous amène aux constructions multi-échelles sur graphes dirigés. Plus particulièrement, nous proposons une construction en trames d'ondelettes ainsi qu'une construction d'ondelettes décimées sur graphes dirigés. Nous illustrons notre analyse harmonique par divers exemples afin d'en montrer l'efficience et la pertinence.
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