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Résumé

Ce manuscrit donne une présentation synthétique et une mise en perspective de morceaux choisis de mes travaux de recherche effectués depuis 2014 en vue de l’obtention de l’habilitation à diriger des recherches en mathématiques appliquées. Ceux-ci portent principalement sur l’analyse statistique de deux objets mathématiques : les processus déterministes par morceaux et les arbres aléatoires. Les premiers constituent un modèle dynamique sur un espace continu en temps continu quand les seconds sont statiques et intrinsèquement discrets. S’ils sont donc de nature différente, l’approche suivie pour leur étude statistique est commune : développer des méthodes algorithmiques d’extraction de l’information rigoureuses, fondées sur la théorie et vérifiées expérimentalement. C’est cette idée que les quatre chapitres de ce mémoire cherchent à illustrer.

Les deux premiers chapitres sont consacrés aux processus markoviens déterministes par morceaux. On s’intéresse d’abord au problème de l’estimation de leur taux de saut dans un cadre général et lorsqu’une unique trajectoire en temps long est observée. On se concentre dans un second temps sur l’estimation de fonctionnelles liées aux croisements, continus ou survenant lors de sauts, de ces processus.

On propose dans les deux derniers chapitres de ce manuscrit des méthodes d’analyse statistique des données arborescentes. On commence par étudier théoriquement à travers un modèle probabiliste le noyau des sous-arbres pour en proposer ensuite des généralisations. Enfin, on construit des estimateurs consistants des paramètres inconnus de la loi de naissance d’arbres de Galton-Watson conditionnés par la taille ou la hauteur.

Abstract

This manuscript, written in French, provides a summary and contextualisation of selected parts of my research work carried out since 2014 in order to obtain the habilitation to conduct research in applied mathematics. It mainly deals with the statistical analysis of two distinct mathematical objects: piecewise-deterministic processes and random trees. The first one is a dynamic model on a continuous space in continuous time, while the latter are static and intrinsically discrete. If they are therefore different in nature, the approach followed for their statistical study can be shared. It consists in the development of rigorous algorithmic methods of information extraction, based on theory and experimentally verified. The four chapters of this thesis seek to illustrate this idea.

The first two chapters are devoted to piecewise-deterministic Markov processes. We address the problem of estimating their jump rate in a general framework from the observation of a single trajectory within a long time window. We then focus on the estimation of functionals related to crossings, either continuous or occurring during jumps.

In the last two chapters of this manuscript, we propose methods for the statistical analysis of tree data. We start by studying guarantees of the subtree kernel for a probabilistic model. We take advantage of this theoretical insight to propose some generalisations of the kernel. Finally, we build consistent estimators of the unknown parameters of the birth distribution of Galton-Watson trees conditioned on size or height.