Les partitions aléatoires d’entiers ont servi à expliquer les connexions entre modèles physiques et combinatoires très différentes. Une partition sous la célèbre mesure de Plancherel donne les longueurs des sous-suites monotones d’une permutation aléatoire uniforme ; ses parties correspondent aussi aux positions de fermions libres sur réseau, ce qui permet d’étudier leurs statistiques de manière exacte. Elle a une forme limite déterministe et des fluctuations de bord avec exposant critique universel 1/3, associé à la physique hors d’équilibre. Cette thèse porte sur deux généralisations de la mesure de Plancherel, dont le comportement de bord échappe l’universalité. On introduit en premier une famille de mesures correspondant aux fermions libres, et montre qu’elles entament des fluctuations de bord «multicritiques », avec d’autres exposants critiques. Ces mesures relient les fermions multicritiques aux matrices unitaires aléatoires, et expliquent l’apparition des mêmes distributions asymptotiques pour chaque modèle. En- suite, on introduit une mesure liée à l’énumération des factorisations par transpositions sur les groupes symétriques et de certaines surfaces discrètes. On montre que, dans un régime où les surfaces concernées sont de grand genre, elle produit un comportement limite inédit où la première partie devient très grande. Par conséquent, on obtient une approximation asymptotique pour les nombres d’Hurwitz non connexes à grand genre. Les lois étudiées possèdent des structures intégrables. Dans le premier cas, on les exploite directement ; dans le deuxième, on étudie via une méthode d’entropie un régime asymptotique inaccessible par l’approche d’intégrabilité.
Gratuit
Disciplines