Agenda de l'ENS de Lyon

William FLEURAT soutiendra sa thèse de doctorat en mathématiques, réalisée sous la direction de Grégory MIERMONT le 19 mai 2025 à 14h.

Résumé de la thèse

Cette thèse porte sur trois thèmes de géométrie aléatoire relativement indépendants, qui se rejoignent dans le dernier chapitre. Dans un premier temps, nous nous intéressons à la construction de couplages monotones pour certains modèles d’arbres aléatoires, dans la continuité de travaux de Luczak et Winkler (2004), que nous généralisons. Nous montrons notamment que les arbres simplement générés à n sommets peuvent être couplés de manière croissante en n, sous une hypothèse de log-concavité. Ce résultat est ensuite appliqué pour construire des couplages croissants dans un modèle général de sous-arbres d’un arbre régulier pondéré. Dans un second temps, nous menons une étude détaillée d’un modèle de cartes aléatoires pondérées en fonction de leur nombre de « blocs », ces derniers étant des sous-cartes délimitées par des éléments séparants. Ce modèle dépend d’un paramètre réel positif, dont une valeur critique marque une transition de phase, entre une phase sphérique dans laquelle la limite d’échelle est la sphère brownienne, et une phase arborescente où c’est l’arbre continu brownien qui apparaît. À la valeur critique du paramètre, on retrouve une phase arborescente mais la limite d’échelle — un arbre de Lévy stable d’exposant 3/2 — correspond à une autre classe d’universalité. Dans un troisième temps, nous prouvons un « théorème des gendarmes » et un « théorème taubérien », applicables à des suites d’espaces métriques mesurés compacts, dont la convergence est entendue au sens de Gromov–Hausdorff–Prokhorov. Ces résultats reposent sur l’étude d’une relation d’ordre entre ces espaces, qui généralise l’ordre Lipschitz de Gromov (et son extension dans un travail non publié de Grieshammer et Rippl). Enfin, dans un dernier chapitre, nous développons une approche nouvelle pour établir la limite d’échelle de modèles de cartes aléatoires avec contrainte topologique. Celle-ci mobilise les différents thèmes abordés au cours de la thèse (couplages croissants, décompositions en blocs, théorèmes taubériens), et nous permet de démontrer la convergence vers la sphère brownienne des quadrangulations aléatoires irréductibles de la sphère. La robustesse de certains arguments laisse penser que notre approche devrait pouvoir s’étendre à d’autres situations.

This dissertation focuses on three relatively independent themes in random geometry, which come together in the concluding chapter. First, we study the construction of monotone couplings for certain models of random trees, following up on work of Luczak and Winkler (2004), whose results we generalize. In particular, we show that simply generated trees with n vertices can be coupled in a way that is increasing in n, under a log-concavity assumption. This result is then applied to construct increasing couplings in a general model of subtrees of a weighted regular tree. Second, we conduct a detailed study of a model of random maps weighted according to their number of “blocks”, which are submaps delimited by separating elements. This model is governed by a positive real parameter, with a critical value at which a phase transition occurs, between a spherical phase where the scaling limit is the Brownian sphere, and a tree-like phase where the Brownian continuum random tree emerges instead. At the critical value of the parameter, we also observe a tree-like phase but the scaling limit—a stable Lévy tree with index 3/2—corresponds to a different universality class. Third, we prove a “sandwich theorem” and a “Tauberian theorem”, applicable to sequences of compact measured metric spaces, whose convergence is understood in the Gromov–Hausdorff–Prokhorov sense. These results rely on the study of an order relation between these spaces, which generalizes Gromov’s Lipschitz order (and its extension in unpublished work by Grieshammer and Rippl). Finally, in the concluding chapter, we develop a novel approach to establishing the scaling limit of random map models with topological constraints. Building on the various themes addressed in this thesis (increasing couplings, block decompositions, Tauberian theorems), it allows us to prove the convergence of irreducible random quadrangulations of the sphere to the Brownian sphere. The robustness of some of the arguments suggests that our approach should be applicable to other settings as well.