La cryptologie a rencontré la théorie des nombres en 1976, lorsque Diffie et Hellman réalisèrent ce qui fut longtemps considéré comme impossible : un protocole permettant à deux personnes d'échanger un secret sur un canal public, sans jamais s'être rencontrées au préalable pour se mettre d'accord sur une clef partagée, un mot de passe. Ce protocole fut conçu de sorte qu'un espion tentant de retrouver le secret doive résoudre un problème calculatoire difficile : le problème du logarithme discret.
On sait aujourd'hui que ce problème (et avec lui la sécurité de l'essentiel de nos télécommunications) ne résisterait pas à l'assaut d'un ordinateur quantique. Les cryptologues s'affairent ainsi au développement de méthodes résistantes : la cryptographie post-quantique. Les candidats post-quantiques émergents construisent leurs fondations sur quelques problèmes enracinés dans l'arithmétique et la géométrie, et ce manuscrit en explore deux familles : la cryptographie fondée sur les réseaux euclidiens et la cryptographie fondée sur les isogénies. Dans un réseau euclidien (un sous-groupe discret d'un espace euclidien), est-il difficile de trouver un vecteur le plus proche possible de l'origine ? Étant données deux courbes elliptiques, est-il difficile de trouver une isogénie les reliant ?
Ce manuscrit présente quelques contributions à la maturation et à la solidification de ces deux familles, avec un zoom particulier sur les techniques de marches aléatoires. Nous prouvons que différents problèmes fondamentaux sont en fait équivalents, qu'ils sont aussi difficiles en moyenne que leurs instances les plus difficiles, et nous construisons quelques cryptosystèmes reposant sur eux.
Le soutenance se fera devant un jury composé de :
- Monsieur Hendrik Willem LENSTRA
- Monsieur Pierrick GAUDRY
- Madame Sophie MOREL
- Madame Adeline ROUX-LANGLOIS
- Monsieur Jean-Marc COUVEIGNES
- Monsieur René SCHOOF
Gratuit
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