Cette thèse vise à établir de manière mathématiquement rigoureuse certains aspects d’un lien entre systèmes intégrables et matrices aléatoires. Motivé par la compréhension de l’échelle hydrodynamique des systèmes intégrables, Herbert Spohn a récemment remarqué qu’il est possible d’étudier les propriétés statistiques de ces systèmes en les comparant à des ensembles de matrices pour lesquelles on a accès à la loi du spectre : les β-ensembles.
Les systèmes que nous considérons sont des systèmes de particules qui évoluent dans le temps selon une interaction aux plus proches voisins. Le qualificatif "intégrable" signifie qu’un grand nombre de quantités indépendantes sont conservées le long de la dynamique. Cette propriété très spéciale permet d’accéder, en principe, à des formules permettant d’analyser ces systèmes. Cependant, ces formules peuvent être compliquées et il est commode de relier leur étude à celle de matrices aléatoires. Notre exemple clé est celui de la chaîne de Toda, un système de particules interagissant selon un potentiel non linéaire. Une manière directe de démontrer son intégrabilité est d’établir l’existence d’une paire de Lax : la dynamique est encodée par l’évolution de deux matrices B et L, appelées matrices de Lax, où les valeurs propres de Lsont conservées dans le temps. Dans cette thèse, par « système intégrable », on entend « système possédant une paire de Lax ».
Pour comprendre les propriétés macroscopiques de ces systèmes, il est nécessaire d’adopter un point de vue statistique. On fait l’hypothèse que localement, le système est à l’équilibre : aléatoire, distribué selon une loi de probabilité bien précise, appelée Ensemble de Gibbs Généralisé, qui est invariante dans le temps. Sous cette hypothèse, il s’agit alors de comprendre la distribution de la matrice de Lax Llorsque le système est distribué selon les mesures invariantes de Gibbs : la matrice de Lax devient une matrice aléatoire dont on vise à comprendre les valeurs propres.
Pour les différents systèmes intégrables considérés, on observe que les matrices de Lax ressemblent à des matrices bien connues : des représentations matricielles des β-ensembles. Par exemple, dans le cas de la chaîne de Toda, la matrice de Lax ressemble à la représentation tridiagonale du β-ensemble réel, découverte par Dumitriu et Edelman.
Les β-ensembles font partie des rares exemples où il est possible de donner explicitement la loi du spectre de matrices aléatoires. Leurs propriétés statistiques sont donc très étudiées. Pour comparer systèmes intégrables et β-ensembles, on se place dans les β-ensembles à grande température,
c’est à dire dans le régime où β est de l’ordre de 1/N, N étant le nombre de particules. Dans ce contexte, cette thèse établit mathématiquement la correspondance entre systèmes intégrables et β-ensembles sous deux points de vue : celui des grandes déviations et de la mesure limite, et celui des fluctuations autour de la limite.
Gratuit
Disciplines