La thèse est consacrée à l'étude des équations aux dérivées partielles cinétiques décrivant les collisions dans un gaz ou un plasma de faible densité. Plus précisément, nous étudions validation mathématique de l'équation de Boltzmann et de sa variante diffusive, l'équation Landau. Ces équations décrivent asymptotiquement des systèmes de particules évoluant selon les principes fondamentaux de la physique (les lois de Newton), dans un régime où le nombre de particules tend vers l'infinie. Nous nous intéressons en particulier à des systèmes déterministes, dans lesquels la distribution initiale des particules est la principale source de stochaticité.
La première partie est dédiée à l'étude du gaz de sphères dures dans un domaine à bords. Les réflexions des particules au bord sont modélisées par des conditions aux bords stochastiques: les particules conservent leurs énergies cinétiques, mais repartent dans une direction aléatoire. Pour ce modèle, nous avons dérivée l'équation de Boltzmann hors équilibre, mais seulement pour des temps courts (du même ordre de grandeur que dans le cas un domaine sans bord).
La seconde partie est consacrée à la dérivation de l'équation de Landau linéarisé, projet que nous n'avons que partiellement abordé. Nous avons divisé le problème en deux étapes. Dans un second temps, nous dérivons dans la limite de collisions rasantes l'équation de Landau linéarisée à partir de l'équation de Boltzmann décrivant des potentiels d'interaction physiques. La première étape est la dérivation de l'équation de Boltzmann linéarisée pour les corrélations temporelles, dans la limite de Boltzmann-Grad. Pour cette dernière tâche, nous nous restreignons au système des sphères dures. Notre preuve n'utilise pas la théorie des billards (contrairement à la littérature précédente) et est potentiellement extensible à différents modèles d'interaction.
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