Donnée une fonction lisse définie sur un voisinage de la sphère euclidienne de dimension n dans la boule unité, peut-on l'étendre en une fonction définie sur la boule de manière à ce que l'extension n'ait aucun point critique ?
Cette thèse propose d'étudier cette question, en supposant que la restriction à la sphère unité de la fonction définie sur le voisinage est Morse.
Ce problème a été introduit pour la première fois par Blank et Laudenbach en 1970, et a aussi été posé par Arnol'd en 1981.
Nous donnons une condition nécessaire d'extension sans points critiques qui s'appuie sur le complexe de Morse de la fonction restreinte à la sphère unité, et de la répartition des points critiques de cette dernière en deux ensembles : ceux dont la dérivée normale est négative et ceux dont la dérivée normale est positive.
Cette condition nécessaire permet alors de donner un cadre algébrique à ce problème venant de la topologie différentielle et s'appuie principalement sur les grandes théories de la deuxième moitié du XXème siècle, à savoir celle des cobordismes de Thom, Smale et Milnor (entre autres), et la théorie de Cerf.
Elle permet notamment de donner des conditions nécessaires et suffisantes dans certains cas plus restrictifs, et donne lieu à une condition nécessaire plus faible qui présente l'intérêt d'être calculable.
Le point de départ des résultats est celui de Barannikov, qui le premier a traduit le problème d'extension de fonction avec des conditions de dérivées normales en un problème de chemin de fonctions générique qui ne présente pas de singularité globale.
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