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L'art complexe des puzzles à une pièce - Rencontre avec Michaël Rao

Date
jeu 08 nov 2018
Horaires

à 13h

Intervenant(s)
  • Michaël Rao, chargé de rech. CNRS (LIP)
  • Étienne Ghys, directeur de rech. CNRS (UMPA)
Langue(s) des interventions

Description générale

Logo Sciences en résonance[Sciences en résonance] Rencontre avec Michaël Rao, chargé de recherche CNRS (LIP, ENS de Lyon), animée par Étienne Ghys, directeur de recherche CNRS (UMPA, ENS de Lyon)

Quelles formes de pièces peuvent paver le plan, c'est-à-dire recouvrir une surface plane sans trous ni chevauchement, « façon puzzle » ? On s’intéressera à la complexité des pavages obtenus : en effet, dans certains cas, ceux-ci peuvent être uniquement non-périodiques.

Une question ouverte et complexe qui passionne des chercheurs est celle de l'existence d'une unique pièce qui pave uniquement de manière non-périodique. Cette question est ironiquement appelée celle d'« ein-stein » (de l'allemand « une pierre ») par les spécialistes.

Déjà, que sait-on du cas particulier des formes convexes ? C'est une question que s'était posé K. Reinhardt durant sa thèse en 1918, et qui vient tout juste d'être clôturée, après plusieurs rebondissements. Au final, il n'y a que 15 familles de pentagones et 3 familles d’hexagones qui peuvent paver le plan, et ce toujours d'une manière périodique. Une hypothétique tuile d'ein-stein serait donc forcément concave...

 

© Michaël RAO. Pavages pentagonaux
© Michaël RAO. Pavages pentagonaux

Chercheur à l'ENS de Lyon, Michaël Rao a obtenu le prix La Recherche 2018 dans la catégorie "Mathématiques" en démontrant qu'il n'y a que 15 types de pentagones convexes pavant le plan, clôturant ainsi la question laissée ouverte par Reinhardt en 1918.

Mathématiques : il n'existe que 15 familles de pentagones convexes

La publication : Michaël Rao, arXiv:1708.00274 [math.CO], 2017.

Le résultat : Michaël Rao est récompensé pour son article où il est parvenu à montrer qu'il y a exactement 15 familles de pentagones convexes qui pavent le plan de manière périodique. Cette recherche de tous les polygones convexes pouvant paver un plan a été initié par Karl Reinhardt en 1918 qui a montré que tous les triangles, tous les quadrilatères et exactement trois types d'hexagones pavent le plan (aucun polygone convexe à sept côté ou plus ne pavent le plan). Le cas des pentagones était ouvert. Entre 1918 et 2015, les mathématiciens ont découverts 15 familles de tels pentagones. Le tour de force de Michaël Rao a été de prouver qu'il n'en existe pas plus. Les techniques mises en œuvre pourraient en outre être appliquées à des problèmes plus délicats sur les pentagones non-convexes.

Gratuit
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