Cette thèse porte sur l’analyse mathématique de systèmes de fermions dans la limite où le nombre de particules tend vers l’infini. L’étude de ce genre de systèmes nécessite de calculer les énergies et densités des états physiques. Ce problème est extrêmement difficile à résoudre même numériquement en raison des interactions et des corrélations entre les particules. En effet avec un grand nombre de particules l'espace de Hilbert représentant l'espace des états possibles du système est immense. Cependant, l'objectif général est d'obtenir des théories effectives où l'énergie ne dépend que de la densité de particules. Une telle théorie est appelée théorie fonctionnelle de la densité. Dans ces théories, la minimisation se fait sur un espace fonctionnel de densités plus simple que l’espace de Hilbert de départ. Cela vient cependant généralement avec le coût d'une non linéarité dans le terme d'interaction. Dans le cadre de la thèse, on s’intéresse plus précisément à des fermions confinés dans un espace à deux dimensions sans spin soumis à un fort champ magnétique transverse et homogène. C’est à dire que l'amplitude du champ magnétique tend vers l'infini en même temps que le nombre de particules. Dans ce contexte physique, motivé par l’effet Hall quantique, le problème à N corps quantique a été étudié par Lieb Solovej et Yngvason et plus récemment par Fournais, Lewin et Madsen. Les principaux outils proviennent de l’analyse semi-classique mais aussi plus généralement de la théorie spectrale et l’analyse fonctionnelle.
Après un premier chapitre introductif situant les résultats principaux par rapport à la bibliographie, le deuxième chapitre de la thèse reprend le contenu de la prépublication “Multiple Landau level filling for a mean field limit of 2D fermions” disponible en tant que arXiv:2212.03780 ou hal-03842135 actuellement soumise à Journal of Mathematical Physics. Dans ce travail, nous étudions la limite de champ moyen, couplée à une limite semi-classique et fort champ magnétique, pour l’état fondamental du système de fermions. En physique classique, les particules chargées soumises à un champ magnétique transverse et homogène décrivent des orbites. En mécanique quantique, l'énergie cinétique est quantifiée en niveaux d'énergie discrets appelés niveaux de Landau, séparés par un gap constant. Les résultats principaux de cet article étendent des travaux de Lieb-Solovej-Yngvason et Fournais-Madsen en considérant un régime où le gap entre niveaux de Landau est l’échelle d’énergie dominante. De plus, les particules sont placées dans un domaine borné, permettant à la dégénérescence des niveaux de Landau d’être finie. Nous obtenons ainsi un modèle limite où un nombre arbitraire de niveaux de Landau sont remplis. Les travaux existants, utilisant un confinement par un potentiel de piégeage, ne peuvent décrire cette situation. Nous discutons aussi de la physique du modèle limite dans le dernier niveau de Landau partiellement rempli.
Le dernier chapitre présente un résultat sur la dynamique dans le même contexte que le chapitre précédent. Notre point de départ est l’équation de Hartree pour la première matrice densité. Il est bien connu que cette équation peut être obtenue par une approximation de champ moyen de la dynamique de Schrödinger à N corps pour des fermions en interaction. Nous étudions une limite fort champ magnétique, couplée avec une limite semi-classique et prouvons que la densité converge vers une solution d’une équation de transport gyro-cinétique. Dans un cadre de mécanique classique, des travaux de Golse-St Raymond obtiennent des résultats similaires avec comme point de départ l’équation de Vlasov. Plus récemment un travail dans la limite semi-classique de Ben Porat traite le cas où le gap entre niveaux de Landau est très petit devant les interactions. La nouveauté principale de notre résultat est de considérer le régime quantique au départ où le gap entre niveaux de Landau est du même ordre de grandeur que l’énergie d’interaction. La preuve consiste à construire une densité semi-classique dont l’évolution en temps est obtenue puis comparée à l’équation cible.
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