La géométrie symplectique et la géométrie complexe sont intimement liées, en particulier par les techniques asymptotiquement holomorphes de Donaldson-Auroux d'une part et par les travaux de Cieliebak-Eliashberg sur la pseudoconvexité d'autre part. Les travaux présentés dans cette thèse sont motivés par ces liens.
On donne d’abord la caractérisation symplectique suivante des constantes de Seshadri. Dans une variété complexe, la constante de Seshadri d’une classe de Kähler entière en un point est la borne supérieure des capacités de boules standard admettant, pour une certaine forme de Kähler dans cette classe, un plongement holomorphe et iso-Kähler de codimension 0 centré en ce point. Ce critère était connu de Eckl en 2014 ; on en donne une preuve différente.
La deuxième partie est motivée par la question suivante de Donaldson : <<toute sphère lagrangienne d'une variété projective est-elle un cycle évanescent d'une déformation complexe vers une variété à singularité conique ?>> D'une part, on présente toute sous-variété lagrangienne d’une variété symplectique/kählérienne à périodes relatives entières comme lieu des minima d’une fonction <<convexe>> définie sur le complémentaire d'une section hyperplane symplectique/complexe. Dans le cadre kählérien, <<convexe>> signifie strictement plurisousharmonique tandis que dans le cadre symplectique, cela signifie de Lyapounov pour un champ de Liouville. D'autre part, on donne une condition suffisante pour qu'une sphère lagrangienne d'un domaine de Stein soit un cycle évanescent d'une déformation complexe sur le disque vers un domaine à singularité conique.
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