Le traitement du signal et des images ainsi que l’apprentissage machine sont deux disciplines qui reposent sur (i) l’identification de l’information à extraire ou à apprendre afin de définir une fonction de coût à minimiser, (ii) le design d’un algorithme permettant d’atteindre le minimiseur de cette fonction objectif et (iii) l’ajustement d’hyperparamètres contrôlant le niveau de régularité des estimées.
Dans ce manuscrit, je présente tout d’abord les principales fonctions de coût rencontrées en problèmes inverses, en segmentation et en apprentissage. J’y présente également les principaux algorithmes du premier ordre permettant de minimiser des fonctions de coûts convexes mais pouvant être non-différentiables.
La première partie qui résume mes contributions est dédiée aux projections épigraphiques. J’y présente d’une part de nouvelles formes explicites des projections associées et d’autre part j’illustre leur intérêt en restauration d’image multidimensionnelle, permettant des gains substantiels en temps de calculs, et en astronomie, comme outil naturel pour l’imagerie haut contraste.
Une seconde partie est dédiée à l'accélération des algorithmes de premier ordre: forme explicite d’opérateurs proximaux pour une somme de deux fonctions, pas proximaux versus pas de gradient, prise en compte de la forte convexité. Ces éléments sont illustrés à travers des problèmes de détection de changements dans des signaux, pour la détection de contours dans des données dégradées avec le modèle de Mumford-Shah discret, et enfin pour la segmentation de textures à travers la construction d’une attache aux données fortement convexe permettant de combiner estimation de descripteurs et segmentation.
Une troisième partie est dédiée à l’estimation des hyperparamètres. Je présente d’abord une approche hybride variationnelle et bayésienne hiérarchique, puis le modèle de SURE, et enfin une formulation sous forme d’algorithme déroulés.
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