Agenda de l'ENS de Lyon

Cette thèse est divisée en deux parties indépendantes.

Dans une première partie, nous introduisons un cadre de travail théorique unifié permettant de définir une notion de limite locale pour des graphes évolutifs, i.e. des graphes dans lesquels les arêtes apparaissent et disparaissent au cours du temps. Nous montrons pour deux modèles de graphes dynamiques inhomogènes un résultat de convergence locale vers des arbres de Galton-Watson qui croissent et se segmentent au cours du temps. Cette nouvelle notion nous permet d’étudier des propriétés asymptotiques de processus évoluants sur ces graphes dynamiques. Nous nous intéressons ici au processus de contact pour lequel nous démontrons des résultats de métastabilité, renforçant des résultats obtenus récemment par Jacob, Linker et Mörters.

La seconde partie constitue une contribution à la très riche étude des principes de grandes déviations (PGD) fonctionnelles des processus de Lévy, pour laquelle nous nous focalisons sur le cas des processus de Lévy α-stables sans saut négatif, où 1<α<2. Ce travail est motivé par un résultat récent de Profeta qui quantifia la queue de distribution logarithmique asymptotique de l’aire sous l’excursion normalisée d’un processus de Lévy α-stable sans saut négatif. Grâce à une approche dû à Puhalskii, similaire à la convergence de processus stochastiques, nous établissons un PGD pour les excursions stables. Ceci nous permet de déterminer des équivalents exacts pour les queues de distribution logarithmique asymptotique de certaines fonctionnelles de l’excursion stable telles que l’aire sous l’excursion et le supremum. Par des raisonnements similaires, nous obtenons un PGD pour les ponts stables.