Thomas BUC-D'ALCHÉ soutiendra sa thèse de doctorat en mathématiques, réalisée sous la direction d'Alice GUIONNET et Grégory MIERMONT, le 8 juillet 2025 à 13h30.
Résumé de la thèse
Cette thèse traite de plusieurs problèmes reliés aux matrices aléatoires et à l’énumération de cartes. Informellement, les cartes sont des graphes dessinés sur des surfaces.
Les travaux des physiciens Brézin, Itzkson, Parisi, et Zuber ont permis de comprendre que le problème de l’énumération des cartes est relié à la distribution des valeurs propres de matrices aléatoires Hermitiennes Gaussiennes. Ce lien, beaucoup étudié depuis, s’est révélé fructueux dans les deux directions: une bonne compréhension de la combinatoire des cartes permet de décrire le spectre de matrices aléatoires, et des méthodes analytiques applicables aux intégrales de matrices permettent d’approcher des problèmes combinatoires a priori difficiles.
Le Chapitre 3 de cette thèse propose une description de modèles de matrices aléatoires unitaires en terme d’une famille de cartes, les cartes de type unitaire. Ces cartes constituent une généralisation d’une famille d’objets combinatoires liés aux probabilités libres, les nombres de Hurwitz monotones. D’autre part, la distribution de valeurs propres de matrices Hermitiennes unitairement invariantes est un cas particulier d’une famille de mesures appelée β-ensemble.
Au Chapitre 4, on propose une méthode directe de calcul des moments du β-ensemble en terme de cartes. Cette approche propose un point de vue nouveau sur les moments du β-ensemble, différent de celui considéré par LaCroix, dans le cadre la b-conjecture de Goulden et Jackson en combinatoire algébrique. Des relations clés pour étudier les liens entre cartes et matrices aléatoires sont les équations de Dyson-Schwinger. En théorie des matrices aléatoires, ces équations apparaissent comme conséquence de l’invariance par translation de la mesure de référence considérée. Au dela, ces équations apparaissent sous d’autres formes dans de nombreux domaines: en particulier, il s’agit des équations de Tutte en combinatoire des cartes. Elles peuvent être vues comme un cas particulier de la récurrence topologique de Eynard et Orantin. Ecrites pour le β-modèle et dans la limite de grande dimension, les équations de Dyson-Schwinger peuvent être interprétées comme définissant une courbe hyperelliptique, la courbe spectrale. De nombreuses observables de matrices aléatoires correspondent à des objets géométriques définis en terme de la courbe spectrale. Il est alors possible de réinterpréter des identités probabilistes de matrices aléatoires d’un point de vue géométrique.
Une telle approche est discutée au Chapitre 5, pour obtenir des analogues Pfaffiens de la formule de Fay. Plutôt que le spectre, on peut étudier les vecteur propres de matrices aléatoires. Dans ce cadre, on discute du problème de localisation des vecteurs propres d’une matrice d’adjacence d’un graphe aléatoire. Cette question est liée notamment au problème de la localisation d’Anderson, un problème encore partiellement ouvert en physique mathématique.
Au Chapitre 6, on étudie le problème de localisation pour le modèle Generalized Random Graph, qui généralise le modèle d’Erdős-Rényi.
Gratuit
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